ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2556

ข้อ 17

กำหนดให้ $9 x^{2} - 16 y^{2} - 18 x + 64 y - 199 = 0$ เป็นสมการไฮเพอร์โบลา ถ้าพาราโบลารูปหนึ่งมีแกนสมมาตรขนานแกน y ตัดแกน x ที่จุด $(1, 0)$ และผ่านจุดยอดทั้งสองของไฮเพอร์ไบลาที่กำหนดให้ แล้วจุดในข้อใดต่อไปนี้ไม่อยู่บนพาราโบลา

1
$(2, \frac{1}{8})$
2
$(- 1, \frac{1}{2})$
3
$(3, \frac{1}{2})$
4
$(4, \frac{1}{4})$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ 9 x^{2} - 16 y^{2} - 18 x + 64 y - 199 = 0 จะได้ 9 x^{2} - 16 y^{2} - 18 x + 64 y - 199 = 0 9 (x^{2} - 2 x + 1) - 16 (y^{2} - 4 y + 4) = 199 + 9 - 64 \frac{9 {(x - 1)}^{2}}{144} - \frac{16 {(y - 2)}^{2}}{144} = \frac{144}{144} \frac{{(x - 1)}^{2}}{16} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{9} = 1 \frac{{(x - 1)}^{2}}{4^{2}} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{3^{2}} = 1$

$จากสูตร ไฮเพอร์โบลา \frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1 จะได้ ไฮเปอร์โบลาที่มีแกนตามขวางขนานแกน x มีจุดศูนย์กลาง (h, k) = (1, 2), a = 4, b = 3 มีจุดยอด V (h \pm a, k) = V (1 \pm 4, 2) = (5, 2), (- 3, 2)$

$จากโจทย์ พาราโบลามีแกนสมมาตรขนานแกน y ตัดแกน x ที่จุด (1, 0) และผ่านจุดยอดทั้งสองของไฮเพอร์โบลา แสดงว่า พาราโบลามีจุดยอด (h, k) = (1, 0) และผ่านจุด (5, 2), (- 3, 2) วาดรูปกราฟพาราโบลา$

${(x - 1)}^{2} = 4 c (y - 0) - พาราโบลาผ่านจุด (5, 2) แทนค่าในสมการ {(5 - 1)}^{2} = 4 c (2) 16 = 8 c c = 2 ∴ {(x - 1)}^{2} = 8 y จากสูตร พาราโบลา (แกนสมมาตรขนานแกน y) {(x - h)}^{2} = 4 c (y - k)$
$จะได้ {(x - 1)}^{2} = 4 c (y - 0); ผ่านจุด (5, 2) {(5 - 1)}^{2} = 4 c (2) 16 = 8 c c = 2 แสดงว่า สมการพาราโบลา คือ {(x - 1)}^{2} = 4 (2) (y - 0) {(x - 1)}^{2} = 8 y$