ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2557

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} n \mathrm{เป็นจำนวนเต็มบวก} \\ \mathrm{ข้อ} \left(1\right) a \mathrm{และ} b \mathrm{เป็นจำนวนเต็มบวก} \\ \mathrm{ข้อ}\left(2\right) \frac{n}{a}\in (0,1] ; n,a\in I^{+} \\ \mathrm{จะได้} 0<\frac{n}{a}\le 1 \\ 0·a<\frac{n}{a}·a\le 1·a \\ 0<n\le a \\ \mathrm{แสดงว่า} a \mathrm{มีค่ามากกว่า} \mathrm{หรือเท่ากับ} n \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{ข้อ} \left(4\right) \frac{b}{n}\in (2,3] ; b,n\in I^{+} \\ \mathrm{จะได้} 2<\frac{b}{n}\le 3 \\ 2·n<\frac{b}{n}·n\le 3·n \\ 2n<b\le 3n\to \boxed{1} \\ \mathrm{แสดงว่า} b>2n \mathrm{และ} b\le 3n \\ \mathrm{ข้อ} \left(3\right) \frac{a}{b}\in (1,2] ; a,b\in I^{+} \\ \mathrm{จะได้} 1<\frac{a}{b}\le 2 \\ 1·b<\frac{a}{b}·b\le 2·b \\ b<a\le 2b\to \boxed{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากข้อ} \left(4\right) b>2n \mathrm{และ} b\le 3n \\ \mathbf{ลองให้}\mathbf{ }\mathit{b}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathit{n}\mathbf{+}\mathbf{1} \\ \mathrm{จะได้} b=2n+1 ; \mathrm{เนื่องจาก} b\in I^{+} \mathrm{และ} b>2n \\ b=2n+2 \\ b=2n+3 \\ ⋮ \\ b=2n+n=3n \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{จำนวนกรณีที่} b \mathrm{เป็นไปได้}=3n-\left(2n+1\right)+1 \\ =n \mathrm{ตัว} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{ลองให้}\mathbf{ }\mathit{b}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathit{n}\mathbf{+}\mathbf{1} \\ \mathrm{จาก} \boxed{2} \mathrm{จะได้} 2n+1<a\le 2\left(2n+1\right) \\ 2n+1<a\le 4n+2 \\ \mathrm{แสดงว่า} a>2n+1 \mathrm{และ} a\le 4n+2 \\ \mathrm{จะได้} a=2n+2 ; \mathrm{เนื่องจาก} a\in I^{+} \mathrm{และ} a>2n+1 \\ a=2n+3 \\ ⋮ \\ a=2n+n=3n \\ a=3n+1 \\ ⋮ \\ a=3n+n=4n \\ a=4n+1 \\ a=4n+2 \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{จำนวนกรณีที่} a\mathrm{เป็นไปได้}=\left(4n+2\right)-\left(2n+2\right)+1 \\ =2n+1 \mathrm{ตัว} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จะเห็นว่า} b=2n+1 \mathrm{จะมี} a \mathrm{มาจับคู่}=2n+1 \mathrm{ตัว} \\ \mathbf{ลองให้}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{b}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathit{n}\mathbf{+}\mathbf{2} \\ \mathrm{จะได้} b<a\le 2b \\ 2n+2<a\le 2\left(2n+2\right) \\ 2n+2<a\le 4n+4 \\ \mathrm{จะได้} a=2n+3 \\ ⋮ \\ a=4n+4 \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{จำนวน} a \mathrm{เป็นไปได้}=\left(4n+1\right)-\left(2n+3\right)+1 \\ =2n+2 \mathrm{ตัว} \\ \mathrm{จะเห็นว่า} b=2n+2 \mathrm{จะมี} a \mathrm{มาจับคู่}=2n+2 \mathrm{ตัว} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จาก} \boxed{1} 2n<b⩽3n \\ \mathrm{กรณี} b=2n+1\to \mathrm{คู่อันดับ} \left(a,b\right) \mathrm{ทั้งหมด} 2n+1 \mathrm{ตัว} \\ b=2n+2 \to \mathrm{คู่อันดับ} \left(a,b\right) \mathrm{ทั้งหมด} 2n+2 \mathrm{ตัว} \\ ⋮ ⋮ \\ b=2n+n=3n\to \mathrm{คู่อันดับ} \left(a,b\right) \mathrm{ทั้งหมด} 3n \mathrm{ตัว} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} S\left(n\right) \mathrm{แทนจำนวนคู่อันดับ} \left(a,b\right) \mathrm{ทั้งหมด} \\ \mathrm{จะได้} \\ S\left(n\right)=\left(2n+1\right)+\left(2n+2\right)+\left(2n+3\right)+...+\left(2n+n\right) \\ =\underset{n}{\underbrace{\left(2n+2n+2n+...+2n\right)}}+\left(1+2+3+...+n\right) \\ =2n\left(n\right)+\frac{n\left(n+1\right)}{2} \\ =2n^2+\frac{n\left(n+1\right)}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} S\left(n\right)=164 \\ 2n^2+\frac{n\left(n+1\right)}{2}=164 \\ 2·2n^2+n\left(n+1\right)=164\left(2\right) \\ 5n^2+n-328=0 \\ \left(5n+41\right)\left(n-8\right)=0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จะได้} 5n+41=0 \mathrm{หรือ} n-8=0 \\ n=-\frac{41}{5} n=8 \\ \mathrm{เป็นไปไม่ได้} \left(a\in I^{+}\right) \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ค่าของ} n=8 \end{gathered}$$