ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2558

ข้อ 23

กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับ $\log_{a} \sqrt{2} + \log_{a} \sqrt[4]{2} + \log_{a} \sqrt[8]{2} + . . . = \frac{1}{3}$ และ $4^{\log b} - 2 b^{\log 2} = 8$ พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) $a + b = 102$

(ข) $a \log b = 16$

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1
(ก) ถูก และ (ข) ถูก
2
(ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3
(ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
4
(ก) ผิด และ (ข) ผิด

เฉลยข้อสอบ

$จากสูตร ผลบวกอนุกรมอนันต์ของเรขาคณิต S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r} โดย |r| < 1 จากโจทย์ \log_{a} \sqrt{2} + \log_{a} \sqrt[4]{2} + \log_{a} \sqrt[8]{2} + . . . = \frac{1}{3} จะได้ \log_{a} 2^{\frac{1}{2}} + \log_{a} 2^{\frac{1}{4}} + \log_{a} 2^{\frac{1}{8}} + . . . = \frac{1}{3} \frac{1}{2} \log_{a} 2 + \frac{1}{4} \log_{a} 2 + \frac{1}{8} \log_{a} 2 + . . . = \frac{1}{3} \log_{a} 2 [\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + . . .] = \frac{1}{3}$
$\log_{a} 2 [\frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}}] = \frac{1}{3} \log_{a} 2 = \frac{1}{3} 2 = a^{\frac{1}{3}} a = 2^{3} a = 8$

$จากโจทย์ 4^{\log b} - 2 b^{\log 2} = 8 สมบัติ a^{\log b} = b^{\log a} จะได้ 2^{2 \log b} - 2 [2^{\log b}] = 8 {(2^{\log b})}^{2} - 2 [2^{\log b}] - 8 = 0$