ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2558

ข้อ 45

กำหนดให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับระบบสมการ $|x| - x + y = 8 x + |y| + y = 10$

ค่าของ $20 x + 15 y$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยข้อสอบ

$นิยาม |x| = \{\begin{cases} x; x \geq 0 \\ - x; x < 0 \end{cases} |y| = \{\begin{cases} y; y \geq 0 \\ - y; y < 0 \end{cases} จากโจทย์ |x| - x + y = 8 \to 1 x + |y| + y = 10 \to 2 แยกเป็น 4 กรณี ดังนี้$

$กรณี 1 x < 0, y < 0 จาก 1 จะได้ (- x) - x + y = 8 จาก 2 จะได้ x + (- y) + y = 10 \to x = 10 ขัดแย้ง x < 100 ดังนั้น กรณี 1 ไม่มีคำตอบ$

$กรณี 2 x < 0, y \geq 0 จาก 1 จะได้ (- x) - x + y = 8 \to - 2 x + y = 8 \to 3 จาก 2 จะได้ x + y + y = 10 \to x + 2 y = 10 \to 4 จาก 3, 4 แก้ 2 สมการ 2 ตัวแปร จะได้ x = - \frac{6}{5}, y = \frac{28}{5} ดังนั้น กรณี 2 คำตอบ คือ x = - \frac{6}{5}, y = \frac{28}{5}$

$กรณี 3 x \geq 0, y < 0 จาก 1 จะได้ (- x) - x + y = 8 \to y = 8 ข้อแย้ง y < 0 ดังนั้น กรณี 3 ไม่มีคำตอบ กรณี 4 x \geq 0, y \geq 0 จาก 1 จะได้ x - x + y = 8 \to y = 8 จาก 2 จะได้ x + y + y = 10 \to x + 16 = 10 x = - 6 ขัดแย้ง x \geq 0 ดังนั้น กรณี 4 ไม่มีคำตอบ$

$แสดงว่า ค่าของ 20 x + 15 y = 20 x + 15 y = 20 (- \frac{6}{5}) + 15 (\frac{28}{5}) = - 24 + 84 = 60$