ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2558

ข้อ 44

กำหนดให้ $\{a_{n}\}$ เป็นลำดับของจำนวนจริง โดยที่ $a_{1} = 1$ และ $a_{n} = (1 - \frac{1}{4}) (1 - \frac{1}{9}) \dots (1 - \frac{1}{n^{2}})$ สำหรับ $n = 2, 3, 4, \dots$ ค่าของ $\lim_{n \to \infty} a_{n}$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ a_{n} = (1 - \frac{1}{4}) (1 - \frac{1}{9}) \dots (1 - \frac{1}{n^{2}}); n = 2, 3, 4 = [1^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}] [1^{2} - {(\frac{1}{3})}^{2}] [1^{2} - {(\frac{1}{4})}^{2}] . . . [1^{2} - {(\frac{1}{n})}^{2}]$

$= [(1 + \frac{1}{2}) (1 - \frac{1}{2})] [(1 + \frac{1}{3}) (1 - \frac{1}{3})] [(1 + \frac{1}{4}) (1 - \frac{1}{4})] . . . [(1 + \frac{1}{n}) (1 - \frac{1}{n})]$

$= [(\frac{1}{2}) (\frac{3}{2})] [(\frac{2}{3}) (\frac{4}{3})] [(\frac{3}{4}) (\frac{5}{4})] . . . [(1 - \frac{1}{n}) (1 + \frac{1}{n})] = \frac{1}{2} \cdot (1 + \frac{1}{n})$

$ดังนั้น \lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} [\frac{1}{2} \cdot (1 + \frac{1}{n})] = \frac{1}{2} \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n}) = \frac{1}{2} (1 + 0) = \frac{1}{2} = 0.5$