ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2558

ข้อ 43

มีกระเบื้องสี่เหลี่ยมจัตุรัสสีแดง สีขาว และสีเขียว เป็นจำนวนอย่างน้อยสีละ $5$ แผ่น (แต่ละสีเหมือนกันและมีขนาดเท่ากันทั้งหมด) ต้องการนำกระเบื้อง $7$ แผ่นมาจัดเรียงเป็นแถวตรง โดยมีกระเบื้องแต่ละสีอย่างน้อยหนึ่งแผ่น จะจัดเรียงกระเบื้องดังกล่าวได้ทั้งหมดกี่วิธี

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ นำกระเบื้อง 7 แผ่นมาจัดเรียงเป็นแถวตรง จากทั้งหมด 3 สี โดยมีกระเบื้องแต่ละสีอย่างน้อยหนึ่งแผ่น กรณี 1 A A A A A B C จะได้ กระเบื้อง 7 แผ่น มี 3 สี แยกเป็นสีแรก 1 แผ่น, สีที่สอง 1 แผ่น, สีที่สาม 5 แผ่น 1.1) สีที่สาม มี 5 แผ่น \to เลือก 1 สี จากทั้งหมด 3 สี = C_{3, 1} = 3 วิธี 1.2) เรียงกระเบื้อง 7 แผ่นเป็นเส้นตรง (มีสีซ้ำกัน 5 ชิ้น) = \frac{7!}{1! 1! 5!} = 7 \times 6 วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีกรณี 1 เท่ากับ 3 \times 7 \times 6 = 126 วิธี$

$กรณี 2 A A A A B B C จะได้ กระเบื้อง 7 แผ่น มี 3 สี แยกเป็นสีแรก 1 แผ่น, สีที่สอง 2 แผ่น, สีที่สาม 4 แผ่น 2.1) สีที่สาม มี 4 แผ่น \to เลือก 1 สี จากทั้งหมด 3 สี = C_{3, 1} = 3 วิธี 2.2) สีที่สอง มี 2 แผ่น \to เลือก 1 สี จากที่เหลือ 2 สี = C_{2, 1} = 2 วิธี 2.3) สีแรก มี 1 แผ่น \to เลือก 1 สี จากที่เหลือ 1 สี = C_{1, 1} = 1 วิธี 2.4) เรียงกระเบื้อง 7 แผ่นเป็นเส้นตรง (มีสีซ้ำกัน 4 แผ่น และ 2 แผ่น) ได้วิธี = \frac{7!}{1! 2! 4!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{2 \times 4!} = 105 วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีกรณี 2 เท่ากับ 3 \times 2 \times 1 \times 105 = 630 วิธี$

$กรณี 3 A A A B B B C จะได้ กระเบื้อง 7 แผ่น มี 3 สี แยกเป็นสีแรก 1 แผ่น, สีที่สอง 3 แผ่น, สีที่สาม 3 แผ่น 3.1) สีที่สองและสีที่สาม มีอย่างละ 3 แผ่น \to เลือก 2 สี จาก 3 สี = C_{3, 2} = 3 วิธี 3.2) สีที่สอง มี 1 แผ่น \to เลือก 1 สี จากที่เหลือ 1 สี = C_{1, 1} = 1 วิธี 3.3) เรียงกระเบื้อง 7 แผ่นเป็นเส้นตรง (มีสีซ้ำกัน 3 แผ่น และอีกสีซ้ำกัน 3 แผ่น) ได้วิธี = \frac{7!}{1! 3! 3!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3 \times 2 \times 3!} = 7 \times 5 \times 4 = 140 วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีกรณี 3 เท่ากับ 3 \times 1 \times 140 = 420 วิธี$

$กรณี 4 A A A B B C C จะได้ กระเบื้อง 7 แผ่น มี 3 สี แยกเป็นสีแรก 2 แผ่น, สีที่สอง 2 แผ่น, สีที่สาม 2 แผ่น 4.1) สีที่สองและสีที่สาม มีอย่างละ 2 แผ่น \to เลือก 2 สี จาก 3 สี = C_{3, 2} = 3 วิธี 4.2) สีที่สอง มี 3 แผ่น \to เลือก 1 สี จากที่เหลือ 1 สี = C_{1, 1} = 1 วิธี 4.3) เรียงกระเบื้อง 7 แผ่นเป็นเส้นตรง (มีสีซ้ำกัน 2 แผ่น, สีที่สองซ้ำ 2 แผ่น, สีที่สามซ้ำ 3 แผ่น) ได้วิธี = \frac{7!}{2! 2! 3!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3!}{2 \times 1 \times 2 \times 1 \times 3!} = 210 วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีกรณี 4 เท่ากับ 3 \times 1 \times 120 = 630 วิธี$

$ดังนั้น จำนวนวิธีทั้งหมด 4 กรณีรวมกันคือ 126 + 630 + 420 + 630 = 1, 806 วิธี$

ข้อถัดไป