ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2559

ข้อ 40

กำหนดให้ $f (x) = x^{3} + a x + b$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง ถ้าอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ $f (x)$ เทียบกับ $x$ เมื่อค่าของ $x$ เปลี่ยนจาก $- 1$ เป็น $1$ เท่ากับ $- 2$ และ $\int_{- 1}^{1} f (x) d x = 2$ แล้วค่าของ $\lim_{h \to 0} \frac{f (3 + h) - f (3 - h)}{h}$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ f (x) เทียบกับ x เมื่อค่าของ x เปลี่ยนจาก - 1 เป็น 1 เท่ากับ - 2 จะได้ \frac{f (1) - f (- 1)}{1 - (- 1)} = - 2 \frac{(1 + a + b) - (- 1 - a + b)}{2} = - 2 \frac{2 + 2 a}{2} = - 2 a = - 3 แสดงว่า f (x) = x^{3} - 3 x + b$

$จากโจทย์ \int_{- 1}^{1} f (x) d x = 2 จะได้ \int_{- 1}^{1} [x^{3} - 3 x + b] d x = 2 {(\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2} + b x)}_{x = - 1}^{x = 1} = 2 [\frac{1^{4}}{4} - \frac{3 {(1)}^{2}}{2} + b (1)] - [\frac{{(- 1)}^{4}}{4} + \frac{3 {(- 1)}^{2}}{2} + b (- 1)] = 2 2 b = 2 b = 1 แสดงว่า f (x) = x^{3} - 3 x + 1 และ f' (x) = 3 x^{2} - 3$

$พิจารณา \lim_{h \to 0} \frac{f (3 + h) - f (3 - h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f (3 + h) - f (3 - h) - f (3) + f (3)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{[f (3 + h) - f (3)] + [f (3) - f (3 - h)]}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f (3 + h) - f (3)}{h} - \lim_{h \to 0} \frac{f (3 - h) - f (3)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f (3 + h) - f (3)}{h} + \lim_{h \to 0} \frac{f [3 + (- h)] - f (3)}{(- h)}$

$จากสูตร \underset{h \to 0}{l i m} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} = f' (x) ดังนั้น \lim_{h \to 0} \frac{f (3 + h) - f (3 - h)}{h} = f' (3) + f' (3) = 2 f' (3) = 2 [3 (3^{2}) - 3] = 48 ค่าของ \underset{h \to 0}{l i m} \frac{f (3 + h) - f (3 - h)}{h} = 48$