ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2559

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{เอกภพสัมพัทธ์คือ} 0<\left|x\right|<2 \\ \mathrm{จะได้} 0<\left|x\right| \mathrm{และ} \hspace{0.17em} \left|x\right|<2 \\ \left|x\right|>0 \cap -2<x<2 \\ x=R-\left\{0\right\} x=\left\{-2,2\right\} \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{เอกภพสัมพัทธ์} \left(U\right) = R-\left\{0\right\} \cap \left\{-2,2\right\} \\ =\left(-2,0\right)\cup \left(0,2\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \underline{ \mathrm{หา} P\left(x\right)} \\ \mathrm{จากโจทย์} P\left(x\right) \mathrm{แทน} \frac{\left|\left|x\right|-x\right|}{x}\le 0 \\ \mathrm{นิยาม} \left|x\right|=\left\{\begin{array}{ll}-x& ; \mathrm{โดย} x<0\\ \mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }x& ; \mathrm{โดย} x\ge 0\end{array}\right. \end{gathered}$$​

$$\begin{gathered} \mathbf{กรณี}\mathbf{ }\mathbf{1} x<0 \mathrm{จะได้ว่า} \left|x\right|=-x \\ \mathrm{จาก} \frac{\left|\left|x\right|-x\right|}{x}\le 0 \\ \mathrm{โดย} x\ne 0 (\mathrm{ส่วนห้ามเป็น} 0) \\ \frac{\left|\left(-x\right)-x\right|}{x}\le 0 \\ \frac{\left|-2x\right|}{x}\le 0 \\ \frac{\left|-2\right|\left|x\right|}{x}\le 0 \\ \frac{2\left(-x\right)}{x}\le 0 \\ -2\le 0 \mathrm{เป็นจริงเสมอ} \\ \mathrm{ดังนั้นจะได้} x=R ; \mathrm{โดย} x\ne 0 \\ \mathrm{x} = \mathrm{R}-\left\{0\right\} \\ \mathrm{นำเซตคำตอบไป} intersect \mathrm{กับเงื่อนไข}\mathrm{กรณี} 1 (x<0) \\ \mathrm{จะได้} x=R \cap x\ne 0 \cap x<0 \\ \mathrm{ดังน้ัน} x=\left(-\infty ,0\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{กรณี}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{ } x\ge 0 \mathrm{จะได้ว่า} \left|x\right|=x \\ \mathrm{จาก} \frac{\left|\left|x\right|-x\right|}{x} \le 0 ; \mathrm{x} \ne 0 \\ \frac{\left|x-x\right|}{x} \le 0 \\ \frac{0}{x} \le 0 \\ 0 \le 0 \mathrm{เป็นจริงเสมอ} \\ \mathrm{ดังนั้นจะได้} \mathrm{x} = R ; \mathrm{โดย} x\ne 0 \\ \mathrm{x} = \mathrm{R}-\left\{0\right\} \\ \mathrm{นำเซตคำตอบไป} intersect \mathrm{กับเงื่อนไข}\mathrm{กรณี} 2 ( x\ge 0) \\ \mathrm{จะได้} x=R \cap x\ne 0 \cap x\ge 0 \\ \mathrm{ดังนั้น} x=\left(0,\infty \right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากกรณี} 1 \mathrm{และ} \mathrm{กรณี} 2 \mathrm{นำเซตคำตอบมา} Union \\ \mathrm{จะได้} P\left(x\right) = \left(-\infty ,0\right)\cup \left(0,\infty \right) \end{gathered}$$​

$$\begin{gathered} \underline{\mathrm{หา} Q\left(x\right)} \\ \mathrm{จากโจทย์} Q\left(x\right) \mathrm{แทน} \left|x-\sqrt{{\left(x-1\right)}^2}\right| < 3 \\ \mathrm{โดย} \sqrt{a^2} = \left|a\right| \mathrm{จะได้ว่า}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\left|x-\left|x-1\right|\right| < 3 \\ \mathrm{นิยาม} \left|x-1\right| = \left\{\begin{array}{ll}-\left(x-1\right)& ; \mathrm{โดย} x-1<0 \to x<1\\ \left(x-1\right)& ; \mathrm{โดย} x-1\ge 0 \to x\ge 1\end{array}\right. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{กรณี}\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{ } x<1 \mathrm{ทำให้} \left|x-1\right| = -\left(x-1\right) \\ \mathrm{จาก} \left|x-\left|x-1\right|\right| < 3 \\ \mathrm{จะได้} \left|x-\left[-\left(x-1\right)\right]\right| < 3 \\ \left|x+\left(x-1\right)\right| < 3 \\ \left|2x-1\right| < 3 \\ \mathrm{จากนิยาม} \left|\mathrm{x}\right| <a \mathrm{จะได้ว่า} -\mathrm{a}<\mathrm{x}<\mathrm{a} \\ \mathrm{ดังนั้น} -3 < 2x-1 < 3 \\ -3+1 < 2x < 3+1 \\ -2 < 2x < 4 \\ -1 < x < 2 \\ x = \left(-1,2\right) \\ \mathrm{นำเซตคำตอบไป} intersect \mathrm{กับเงื่อนไข}\mathrm{กรณี} 1 ( x<1) \\ \mathrm{จะได้} x=\left(-1,2\right)\cap x<0 \\ \mathrm{ดังนั้น} x=\left(-1,1\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{กรณี}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{ } x\ge 1 \mathrm{ทำให้} \left|x-1\right|=x-1 \\ \mathrm{จาก} \left|x-\left|x-1\right|\right| < 3 \\ \mathrm{จะได้} \left|x-\left(x-1\right)\right| < 3 \\ \left|1\right| < 3 \\ 1 < 3 \left(\mathrm{เป็นจริงเสมอ}\right) \\ \mathrm{ดังนั้น} x=R \\ \mathrm{นำเซตคำตอบไป} intersect \mathrm{กับเงื่อนไข}\mathrm{กรณี} 2 x\ge 1 \\ \mathrm{จะได้} x=R\cap x\ge 1 \\ \mathrm{ดังนั้น} x=[1,\infty ) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากกรณี} 1 \mathrm{และกรณี} 2 \mathrm{นำเซตคำตอบมา} Union \mathrm{กัน} \\ \mathrm{จะได้} Q\left(x\right) = \left(-1,1\right) \cup [1,\infty ) \\ Q\left(x\right) = \left(-1,\infty \right) \end{gathered}$$​

$$\begin{gathered} \mathbf{พิจารณาข้อ}\mathbf{ }\mathbf{\left(}\mathit{ก}\mathbf{\right)} \\ \mathrm{พิจารณา} \exists x\left[Q\left(x\right)\right] \to \forall x\left[P\left(x\right)\right] \mathrm{มีค่าความเป็นจริง} \mathrm{หรือไม่} \\ \mathrm{โดย} \mathrm{เอกภพสัมพัทธ์} \left(U\right) = \left(-2,0\right)\cup \left(0,2\right) \\ \mathrm{จะได้} \exists x\left[Q\left(x\right)\right] \equiv T \\ \mathrm{เนื่องจากมีค่า} x \mathrm{ในเอกภพสัมพัทธ์อย่างน้อย} 1 \mathrm{ค่า} \\ \mathrm{อยู่ในเซตคำตอบของ} Q\left(x\right) \mathrm{เช่น} x=1 \\ \mathrm{และ} \forall x\left[P\left(x\right)\right] \equiv T \\ \mathrm{เนื่องจากมีค่า} x \mathrm{ในเอกภพสัมพัทธ์ทุกตัว} \mathrm{อยู่ในเซตคำตอบของ} P\left(x\right) \\ \mathrm{แสดงว่า} \exists x\left[Q\left(x\right)\right] \to \forall x\left[P\left(x\right)\right] \equiv T\to T \\ \equiv T \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ข้อ} \left(ก\right) \mathrm{ถูก} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{พิจารณาข้อ}\mathbf{ }\mathbf{\left(}\mathit{ข}\mathbf{\right)} \\ \mathrm{พิจารณา} \forall x\left[P\left(x\right)\wedge Q\left(x\right)\right] \mathrm{มีค่าความเป็นจริง} \mathrm{หรือไม่} \\ \mathrm{โดยเอกภพสัมพัทธ์} \left(U\right) = \left(-2,0\right)\cup \left(0,2\right) \\ \mathrm{จะได้} \forall x\left[P\left(x\right)\wedge Q\left(x\right)\right] \equiv \forall x\left[x\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(0,\infty \right) \mathrm{และ} x\in \left(-1,\infty \right)\right] \\ \equiv \forall x\left[x\in \left(-1,0\right)\cup \left(0,\infty \right)\right] \\ \mathrm{แสดงว่า} \forall x\left[P\left(x\right)\wedge Q\left(x\right)\right] \equiv F \\ \mathrm{เนื่องจากมีค่า} x \mathrm{ในเอกภพสัมพัทธ์บางตัวไม่ได้อยู่} \\ \mathrm{ในช่วง} \left(-1,0\right)\cup \left(0,\infty \right) \mathrm{เช่น} x=-1 \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ข้อ} \left(ข\right) \mathrm{ผิด} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{พิจารณาข้อ}\mathbf{ }\mathbf{\left(}\mathit{ค}\mathbf{\right)} \\ \mathrm{พิจารณา} \forall x\left[~P\left(x\right)\right]\vee \forall x\left[Q\left(x\right)\right] \mathrm{มีค่าความเป็นจริง} \mathrm{หรือไม่} \\ \mathrm{จาก}\left(ก\right) \forall x\left[P\left(x\right)\right]\equiv T \mathrm{จึงทำให้} \forall x\left[~P\left(x\right)\right]\equiv F \\ \mathrm{และ} \forall x\left[Q\left(x\right)\right]\equiv F \mathrm{เพราะมีค่า} x \mathrm{ในเอกภพสัมพัทธ์บางค่า} \\ \mathrm{ไม่ได้อยู่ในช่วงของ} Q\left(x\right)=\left(-1,\infty \right) \mathrm{เช่น} x=0 \\ \mathrm{แสดงว่า} \forall x\left[~P\left(x\right)\right]\vee \forall x\left[Q\left(x\right)\right] \equiv F\vee F \\ \equiv F \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ข้อ} \left(ค\right) \mathrm{ถูก} \\ \mathbf{ดังนั้น}\mathbf{ }\mathbf{ตอบ}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ข้อ}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ก}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{และ}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ค}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ถูก}\mathbf{ }\mathbf{แต่ข้อ}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ข}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ผิด} \end{gathered}$$