ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2559

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{5\mathrm{x}+3}{\mathrm{x}-5} ; \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{y} \\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em} \mathrm{y}=\frac{5\mathrm{x}+3}{\mathrm{x}-5} \\ \mathbf{หา}\mathbf{ }{\mathrm{f}}^{-1}\left(\mathrm{x}\right) \mathbf{ต้องเปลี่ยน}\mathbf{ }\mathrm{x}\to \mathrm{y} \mathbf{และ}\mathbf{ }\mathrm{y}\to \mathrm{x} \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{x}=\frac{5\mathrm{y}+3}{\mathrm{y}-5} \\ \mathrm{x}\left(\mathrm{y}-5\right)=5\mathrm{y}+3 \\ \mathrm{xy}-5\mathrm{x}=5\mathrm{y}+3 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} \mathrm{xy}-5\mathrm{y}=5\mathrm{x}+3 \\ \mathrm{y}\left(\mathrm{x}-5\right)=5\mathrm{x}+3 \\ \mathrm{y}=\frac{5\mathrm{x}+3}{\mathrm{x}-5} \\ \mathrm{ดังนั้น} \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}{\mathrm{f}}^{-1}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{5\mathrm{x}+3}{\mathrm{x}-5}\to \boxed{1} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{หาค่าของ} \left({\mathrm{f}}^{-1}\circ {\mathrm{f}}^{-1}\right)\left(1\right)={\mathrm{f}}^{-1}\left({\mathrm{f}}^{-1}\left(1\right)\right)\to \boxed{2} \\ \mathbf{ต้องหา}\mathbf{ }{\mathbf{f}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}\left(\mathbf{1}\right)\mathbf{ }\mathbf{ก่อน} \\ \mathrm{จาก} \boxed{1} \mathrm{จะได้} {\mathrm{f}}^{-1}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{5\mathrm{x}+3}{\mathrm{x}-5} ; \mathrm{แทน} \mathrm{x}=1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} {\mathrm{f}}^{-1}\left(1\right)=\frac{5\left(1\right)+3}{1-5} \\ {\mathrm{f}}^{-1}\left(1\right)=\frac{8}{-4} \\ {\mathrm{f}}^{-1}\left(1\right)=-2 ; \mathrm{แทนใน} \boxed{2} \\ \mathrm{จะได้} \left({\mathrm{f}}^{-1}\circ {\mathrm{f}}^{-1}\right)\left(1\right)={\mathrm{f}}^{-1}\left(-2\right) \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}; \mathrm{แทน} \mathrm{x}=-2 \mathrm{ใน} \boxed{1} \\ =\frac{5\left(-2\right)+3}{-2-5} \\ =\frac{-7}{-7} \\ =1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \underline{\mathrm{พิจารณาตัวเลือก}} \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}; \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{5\mathrm{x}+3}{\mathrm{x}-5} \\ 1.\hspace{0.17em}\mathrm{f}\left(0\right)=\frac{5\left(0\right)+3}{0-5}=-\frac{3}{5} \\ 2.\hspace{0.17em}\mathrm{f}\left(-1\right)=\frac{5\left(-1\right)+3}{-1-5}=\frac{-2}{-6}=\frac{1}{3} \\ 3.\hspace{0.17em}\mathrm{f}\left(1\right)=\frac{5\left(1\right)+3}{1-5}=\frac{8}{-4}=-2 \\ 4.\hspace{0.17em}\mathrm{f}\left(-2\right)=\frac{5\left(-2\right)+3}{-2-5}=\frac{-7}{-7}=1 \\ 5.\hspace{0.17em}\mathrm{f}\left(2\right)=\frac{5\left(2\right)+3}{2-5}=\frac{13}{-3}=-\frac{13}{3} \end{gathered}$$