ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2559

ข้อ 44

ให้ $f$ เป็นฟังก์ชัน ซึ่งมีโดนเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจำนวนจริง โดยที่ $2 f (x) - f (x^{- 1}) = x + x^{- 1}$ เมื่อ $x \neq 0$ ถ้า $|f (\frac{3}{4})| = \frac{a}{b}$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่ ห.ร.ม. ของ $a$ และ $b$ เท่ากับ $1$ แล้วค่าของ $a + b$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ 2 f (x) - f (x^{- 1}) = x + x^{- 1}; แทน x = \frac{3}{4}, \frac{4}{3} แทน x = \frac{3}{4} 2 f (\frac{3}{4}) - f (\frac{4}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{4}{3} 2 f (\frac{3}{4}) - f (\frac{4}{3}) = \frac{25}{12} \to 1 แทน x = \frac{4}{3} 2 f (\frac{4}{3}) - f (\frac{3}{4}) = \frac{4}{3} + \frac{3}{4} 2 f (\frac{4}{3}) - f (\frac{3}{4}) = \frac{25}{12} \to 2$

$นำ 2 \times 1 4 f (\frac{3}{4}) - 2 f (\frac{4}{3}) = \frac{50}{12} \to 3 นำ 2 + 3 (2 f (\frac{4}{3}) - f (\frac{3}{4})) + (4 f (\frac{3}{4}) - 2 f (\frac{4}{3})) = \frac{25}{12} + \frac{50}{12} 3 f (\frac{3}{4}) = \frac{75}{12} f (\frac{3}{4}) = \frac{25}{12}$

$จากโจทย์ |f (\frac{3}{4})| = \frac{a}{b}; แทน f (\frac{3}{4}) = \frac{25}{12} จะได้ |\frac{25}{12}| = \frac{a}{b} \frac{a}{b} = \frac{25}{12}$

$จากโจทย์ ห . ร . ม . ของ a และ b เท่ากับ 1 จะได้ a = 25, b = 12 ดังนั้น a + b = 25 + 12 = 37$