ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2565 (หลักสูตรใหม่)

ข้อ 12

กำหนดเมทริกซ์แต่งเติมของระบบสมการระบบหนึ่งคือ $[\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 & - 3 \\ 1 & 2 & - 2 & - 4 \\ 1 & 1 & 0 & 2 \end{matrix}]$ ใช้การดำเนินการตามแถวเพื่อแปลงเมทริกซ์แต่งเติมนี้ได้เป็น $[\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 & a \\ 0 & 1 & - 1 & b \\ 0 & 0 & 1 & c \end{matrix}]$ เมื่อ $a, b$ และ $c$ เป็นจำนวนจริง ถ้า $X = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & b \\ 1 & c & 0 \end{matrix}]$ แล้ว $d e t (2 X^{t})$ เท่ากับข้อใด

1
$12$
2
$18$
3
$24$
4
$72$
5
$96$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์นำมาทำการดำเนินการตามแถว [\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 & - 3 \\ 1 & 2 & - 2 & - 4 \\ 1 & 1 & 0 & 2 \end{matrix}] ~ [\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 & - 3 \\ 0 & 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{matrix}] \begin{matrix} R_{2} - R_{1} \\ R_{3} - R_{1} \end{matrix}$

$เปรียบเทียบเมทริกซ์ [\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 & a \\ 0 & 1 & - 1 & b \\ 0 & 0 & 1 & c \end{matrix}] กับ [\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 & - 3 \\ 0 & 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{matrix}] จะได้ a = - 3 b = - 1 และ c = 5$

$จาก x = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & b \\ 1 & c & 0 \end{matrix}] จะได้ x = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 3 & - 1 \\ 1 & 5 & 0 \end{matrix}]$

$จากสมบัติของ d e t เราจะทราบว่า d e t (A^{t}) = d e t (A) และ d e t (k A) = k^{n} d e t A เมื่อ k = ค่า่คงที่; n = มิติของเมทริกซ์ จะได้ว่า d e t (2 x^{t}) = {(2)}^{3} d e t (x^{t}) = 8 d e t (x^{t}) = 8 d e t (x)$

$= 8 | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 3 & - 1 \\ 2 & 5 & 0 \end{matrix} | \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 3 \\ 1 & 5 \end{matrix} = 8 [(0 - 1 + 5) - (- 3 - 5 + 0)] = 8 (12) = 96$

ข้อถัดไป