ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2565 (หลักสูตรใหม่)

ข้อ 11

ให้ $z_{1}, z_{2}$ และ $z_{3}$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ $|z_{1}| = 3, |z_{2}| = 2$ และ $|z_{3}| = 1$ พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) $z_{1} \bar{z_{1}} = 9$

(ข) $|(\frac{1}{z_{1}}) (- z_{2}) (\bar{z_{3}})| = 6$

(ค) ถ้า $|z_{1} z_{2} z_{3} \bar{z_{3}} + z_{1} z_{2} \bar{z_{2}} z_{3} + z_{1} \bar{z_{1}} z_{2} z_{3}| = 18$ แล้ว $|z_{1} + z_{2} + z_{3}| = 6$

จากข้อความ (ก) (ข) และ (ค) ข้างต้น ข้อใดถูกต้อง

1
ข้อความ (ก) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น
2
ข้อความ (ก) และ (ข) ถูกต้องเท่านั้น
3
ข้อความ (ก) และ (ค) ถูกต้องเท่านั้น
4
ข้อความ (ข) และ (ค) ถูกต้องเท่านั้น
5
ข้อความ (ก) (ข) และ (ค) ถูกต้อง

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ข้อ (ก) จากสมบัตรจำนวนเชิงซ้อนเราจะทราบว่า z \bar{z} = {|z|}^{2} จะได้ z_{1} {\bar{z}}_{1} = {|z_{1}|}^{2} = {(3)}^{2} = 9 ดังนั้น ข้อ (ก) ถูกต้อง$

$จากโจทย์ข้อ (ข) จากสมบัติจำนวนเชิงซ้อนเราจะทราบว่า |z_{1} z_{2}| = |z_{1}| |z_{2}| จะได้ |(\frac{1}{z_{1}}) (- z_{2}) ({\bar{z}}_{3})| = 6 |\frac{1}{z_{1}}| \cdot |- z_{2}| \cdot |{\bar{z}}_{3}| = 6$

$| \frac{1}{z_{1}} | \cdot | z_{2} | \cdot | z_{3} | = 6 (\frac{1}{3}) (2) (1) = 6 \frac{2}{3} = 6 ดังนั้น ข้อ (ข) ผิด$

$จากโจทย์ ข้อ (ค) |z_{1} z_{2} z_{3} {\bar{z}}_{3} + z_{1} z_{2} {\bar{z}}_{2} z_{3} + z_{1} {\bar{z}}_{1} z_{2} z_{3}| = 18 |(z_{1} z_{2} z_{3}) ({\bar{z}}_{3} + {\bar{z}}_{2} + {\bar{z}}_{1})| = 18 |z_{1} z_{2} z_{3}| |{\bar{z}}_{3} + {\bar{z}}_{2} + {\bar{z}}_{1}| = 18 |z_{1}| |z_{2}| |z_{3}| |{\bar{z}}_{3} + {\bar{z}}_{2} + {\bar{z}}_{1}| = 18$

$จากสมบัติจำนวนเชิงซ้อนเราจะทราบว่า {\bar{z}}_{1} + {\bar{z}}_{2} = \bar{z_{1} + z_{2}} จะได้ |z_{1}| |z_{2}| |z_{3}| |\bar{z_{3} + z_{2} + z_{1}}| = 18 |z_{1}| |z_{2}| |z_{3}| |z_{3} + z_{2} + z_{1}| = 18$