ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2565 (หลักสูตรใหม่)

ข้อ 13

ให้ $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}, \dots$ เป็นลำดับเรขาคณิตที่มี $r$ เป็นอัตราส่วนร่วม โดยที่ $r \in (0, 1)$ และ $a_{1} > 0$ พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) $\log a_{1}, \log a_{2}, \log a_{3}, \dots, \log a_{n}, \dots$ เป็นลำดับเลขคณิต

(ข) ${a_{1}}^{2}, {a_{2}}^{2}, {a_{3}}^{2}, \dots, {a_{n}}^{2}, \dots$ เป็นลำดับเรขาคณิต

(ค) $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} + \dots$ เป็นอนุกรมลู่เข้า

จากข้อความ (ก) (ข) และ (ค) ข้างต้น ข้อใดถูกต้อง

1
ข้อความ (ก) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น
2
ข้อความ (ก) และ (ข) ถูกต้องเท่านั้น
3
ข้อความ (ก) และ (ค) ถูกต้องเท่านั้น
4
ข้อความ (ข) และ (ค) ถูกต้องเท่านั้น
5
ข้อความ (ก) (ข) และ (ค) ถูกต้อง

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ ข้อ (ก) \log a_{1}, \log a_{2}, \log a_{3}, \dots, \log a_{n}, \dots เป็นลำดับเลขคณิต หาผลต่างร่วม \log a_{2} - \log a_{1} = \log (\frac{a_{2}}{a_{1}}) = \log (\frac{a_{1} r}{a_{1}}) = \log (r) \log a_{3} - \log a_{2} = \log (\frac{a_{3}}{a_{2}}) = \log (\frac{a_{1} r^{2}}{a_{1} r}) = \log (r)$

$\log a_{4} - \log a_{3} = \log (\frac{a_{4}}{a_{3}}) = \log (\frac{a_{1} r^{3}}{a_{1} r^{2}}) = \log (r) ⋮ \log a_{n} - \log a_{n - 1} = \log (\frac{a_{n}}{a_{n - 1}}) = \log (\frac{a_{1} r^{n - 1}}{a_{1} r^{n - 2}}) = \log (r)$

$จะได้ว่า ลำดับมีผลต่างร่วมเท่ากันทั้งหมด คือ \log (r) สรุปได้ว่าเป็นลำดับเลขคณิต ดังนั้น ข้อ (ก) ถูกต้อง$

$จากโจทย์ ข้อ (ข) a_{1}^{2}, a_{2}^{2}, a_{3}^{2}, \dots, a_{n}^{2}, \dots เป็นลำดับเรขาคณิต หาอัตราส่วนร่วม \frac{a_{2}^{2}}{a_{1}^{2}} = \frac{{(a_{1} r)}^{2}}{a_{1}^{2}} = r^{2} \frac{a_{3}^{2}}{a_{2}^{2}} = \frac{{(a_{1} r^{2})}^{2}}{{(a_{1} r)}^{2}} = r^{2}$

$\frac{a_{4}^{2}}{a_{3}^{2}} = \frac{{(a_{1} r^{3})}^{2}}{{(a_{1} r^{2})}^{2}} = r^{2} ⋮ \frac{a_{n}^{2}}{a_{n - 1}^{2}} = \frac{{(a_{1} r^{n - 1})}^{2}}{{(a_{1} r^{n - 2})}^{2}} = r^{2}$

$จะได้ว่า ลำดับมีอัตราส่วนร่วมเท่ากันทั้งหมด คือ r^{2} สรุปได้ว่าเป็นลำดับเรขาคณิต ดังนั้น ข้อ (ข) ถูกต้อง$

$จากโจทย์ข้อ (ค) \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \frac{1}{a_{4}} + \frac{1}{a_{5}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} + \dots เป็นอนุกรมลู่เข้า จาก a_{n} = a_{1} r^{n - 1} จะได้ \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{1} r} + \frac{1}{a_{1} r^{2}} + \frac{1}{a_{1} r^{3}} + \dots = \frac{1}{a_{1}} (1 + \frac{1}{r} + \frac{1}{r^{2}} + \frac{1}{r^{3}} + \dots)$

$จากเรื่องอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ เราทราบว่า S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - R}; |R| < 1 จะได้ว่า \frac{1}{a_{1}} (1 + \frac{1}{r} + \frac{1}{r^{2}} + \frac{1}{r^{3}} + \dots) = \frac{1}{a_{1}} (\frac{1}{1 - \frac{1}{r}}); |\frac{1}{r}| < 1$

$แต่จากโจทย์เราทราบว่า r \in (0, 1) ได้ว่า \frac{1}{r} > 1 ซึ่งจริงๆ |\frac{1}{r}| < 1 จึงเป็นอนุกรมลู่เข้า สรุปได้ว่า \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \frac{1}{a_{4}} + \frac{1}{a_{5}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} + \dots เป็นอนุกรมลู่เข้า ดังนั้น ข้อ (ค) ผิด$

ข้อถัดไป