ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2555 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 12

ถ้า $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่งมี $I m (z) > 0$ และสอดคล้องกับสมการ ${(z + \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} = - \frac{1}{4}$ แล้ว $z^{8}$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i$
2
$- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i$
3
$\frac{1}{2}$
4
$- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$
5
$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$

เฉลยข้อสอบ

$จาก z = a + bi \to r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}, tanθ = \frac{b}{a} เปลี่ยนเป็นเชิงขั้ว จะได้ z = r [cosθ + isinθ] = rcisθ จากโจทย์ {(z + \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} = - \frac{1}{4} z + \frac{\sqrt{3}}{2} = \pm \sqrt{- \frac{1}{4}}$

$z + \frac{\sqrt{3}}{2} = \pm \frac{1}{2} i z = - \frac{\sqrt{3}}{2} \pm \frac{1}{2} i; จากโจทย์ Im (z) > 0 จะได้ z = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i เปลี่ยนเป็นเชิงขั้ว r = \sqrt{{(\frac{- \sqrt{3}}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}} = 1$
$tanθ = \frac{\frac{1}{2}}{- \frac{\sqrt{3}}{2}} = - \frac{1}{\sqrt{3}} \to θ = 150 ° จะได้ z = rcisθ = 1 cis 150 °$

$จากสูตร z^{n} = r^{n} [cis (nθ)] z^{8} = 1^{8} cis [8 (150)] = cis 1200 ° = cis (1080 + 120) ° = cis 120 ° = \cos 120 ° + isin 120 ° = - \cos 60 ° + isin 60 ° = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$