ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2555 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 15

กำหนดให้ $H$ เป็นไฮเพอร์โบลาซึ่งมีสมการเป็น $9 x^{2} - 72 x - 16 y^{2} - 32 y = 16$ ถ้า $E$ เป็นวงรีซึ่งมีจุดยอดอยู่ที่จุดโฟกัสของ $H$ และมีความเยื้องศูนย์กลางเท่ากับ $\frac{1}{\sqrt{5}}$ แล้ว $E$ คือสมการในข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{{(x - 4)}^{2}}{25} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{16} = 1$
2
$\frac{{(x + 4)}^{2}}{25} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = 1$
3
$\frac{{(x - 4)}^{2}}{25} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{20} = 1$
4
$\frac{{(x + 4)}^{2}}{25} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{20} = 1$
5
$\frac{{(x - 4)}^{2}}{16} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{9} = 1$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$ไฮเพอร์โบลา H จากโจทย์ H เป็นไฮเพอร์โบลาซึ่งมีสมการเป็น 9 x^{2} - 72 x - 16 y^{2} - 32 y = 16 จะได้ 9 (x^{2} - 8 x + 16) - 16 (y^{2} + 2 y + 1) = 16 + 9 (16) - 16 (1) 9 {(x - 4)}^{2} - 16 {(y + 1)}^{2} = 144 \frac{{(x - 4)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 1)}^{2}}{9} = 1 \frac{{(x - 4)}^{2}}{4^{2}} - \frac{{(y + 1)}^{2}}{3^{2}} = 1$

$แสดงว่า จุดศูนย์กลาง (h, k) = (4, - 1) a = 4, b = 3 จาก c^{2} = a^{2} + b^{2} c^{2} = 4^{2} + 3^{2} c^{2} = 25 c = 5 - จุดโฟกัสของ H คือ (h \pm c, k) = (4 \pm 5, - 1) F_{1} (9, - 1), F_{2} (- 1, - 1)$

$วงรี E จากโจทย์ E เป็นวงรีซึ่งมีจุดยอดอยู่ที่จุดโฟกัสของ H จะได้ V_{1} (9, - 1), V_{2} (- 1, - 1) \to 2 a = 9 - (- 1) 2 a = 10 a = 5 จากโจทย์ มีความเยื้องศูนย์กลางเท่ากับ \frac{1}{\sqrt{5}}$

$จะได้ \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{c}{a} \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a} \frac{1}{5} = \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2}} a^{2} = 5 a^{2} - 5 b^{2} b^{2} = \frac{4 a^{2}}{5} b^{2} = \frac{4 (25)}{5} b^{2} = 20$