ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2555 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 16

กำหนดให้รูปสามเหลี่ยม $A B C$ มีมุม $A$ และมุม $B$ เป็นมุมแหลม ถ้า $\cos 2 A + 3 \cos 2 B = - 2$

และ $\cos A - \sqrt{2} \cos B = 0$ แล้ว $\cos C$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{1}{5} (\sqrt{3} - \sqrt{2})$
2
$\frac{1}{5} (\sqrt{3} + \sqrt{2})$
3
$\frac{1}{5} (2 \sqrt{3} - \sqrt{2})$
4
$\frac{1}{5} (\sqrt{2} + 2 \sqrt{3})$
5
$\frac{1}{5} (2 \sqrt{2} - \sqrt{3})$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ cosA - \sqrt{2} cosB = 0 \cos A = \sqrt{2} \cos B \to 1 จากโจทย์ \cos 2 A + 3 \cos 2 B = - 2 จะได้ (2 \cos^{2} A - 1) + 3 (2 \cos^{2} B - 1) = - 2 จาก 1 cosA = \sqrt{2} cosB จะได้$

$[2 {(\sqrt{2} cosB)}^{2} - 1] + 3 (2 \cos^{2} B - 1) = - 2 (4 \cos^{2} B - 1) + 6 \cos^{2} B - 3 = - 2 10 \cos^{2} B - 4 = - 2 \cos^{2} B = \frac{2}{10} \cos^{2} B = \frac{1}{5} cosB = \frac{1}{\sqrt{5}} แสดงว่า sinB = \frac{2}{\sqrt{5}}$

$จาก 1 cosA = \sqrt{2} cosB cosA = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} cosA = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \to sinA = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$

$จากโจทย์ สามเหลี่ยม ABC มีมุม A และมุม B เป็นมุมแหลม จะได้ A + B + C = 180 ° C = 180 - (A + B)$

$ดังนั้น \cos C = \cos [180 - (A + B)] = - \cos (A + B) = - [cosAcosB - sinAsinB] = - cosAcosB + sinAsinB = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = - \frac{\sqrt{2}}{5} + \frac{2 \sqrt{3}}{5} = \frac{1}{5} (2 \sqrt{3} - \sqrt{2})$

ข้อถัดไป