ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2556 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 14

ในระบบพิกัดฉากที่มี $O$ เป็นจุดกำเนิด วงรีรูปหนึ่งมีสมการเป็น $\frac{{(x - 3)}^{2}}{9} + \frac{{(y - 5)}^{2}}{25} = 1$ ถ้า $F_{1}$ และ $F_{2}$ เป็นจุดโฟกัสของวงรีรูปนี้ โดยที่ $O F_{1} > O F_{2}$ แล้วระยะทางจากจุด $F_{2}$ ไปยังเส้นตรงที่ผ่านจุด $F_{1}$ และ $(0, 5)$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{19}{5}$ หน่วย
2
$\frac{21}{5}$ หน่วย
3
$\frac{22}{5}$ หน่วย
4
$\frac{23}{5}$ หน่วย
5
$\frac{24}{5}$ หน่วย

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$เมื่อ a > b เป็นวงรีแกนนอน \frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1 เมื่อ a > b เป็นวงรีแกนตั้ง \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

$จากโจทย์ \frac{{(x - 3)}^{2}}{9} + \frac{{(y - 5)}^{2}}{25} = 1 \frac{{(x - 3)}^{2}}{3^{2}} + \frac{{(y - 5)}^{2}}{5^{2}} = 1 จะได้ (h, k) = (3, 5) b^{2} = 3^{2} \to b = 3 a^{2} = 5^{2} \to a = 5 a > b แสดงว่าเป็นวงรีแกนตั้ง โดย c^{2} = a^{2} - b^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 16 c = 4$

$แสดงว่า จุดโฟกัสห่างจาก (h, k) เท่ากับ 4 หน่วย จะได้ จุดโฟกัส = (3, 5 + 4) และ (3, 5 - 4) = (3, 9) และ (3, 1)$

$จากโจทย์ F_{1} และ F_{2} เป็นจุดโฟกัสของวงรี โดยที่ O F_{1} > O F_{2} แสดงว่า F_{1} ห่างจากจุดศูนย์กลาง (0, 0) มากกว่า F_{2} O F_{1} = \sqrt{{(3 - 0)}^{2} + {(9 - 0)}^{2}} = \sqrt{9 + 81} = \sqrt{90} O F_{2} = \sqrt{{(3 - 0)}^{2} + {(1 - 0)}^{2}} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} ดังนั้น F_{1} = (3, 9), F_{2} = (3, 1) จากโจทย์ ระยะทางจากจุด F_{2} ไปยังเส้นตรงที่ผ่าน จุด F_{1} และ (0, 5) เท่ากับข้อใด - ต้องหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด F_{1} (3, 9) และ (0, 5)$
$จะได้ ความชัน (m) = \frac{y_{1} - y_{2}}{x_{1} - x_{2}} = \frac{9 - 5}{3 - 0} = \frac{4}{3} สูตรสมการเส้นตรง y - y_{1} = m (x - x_{1}) y - 5 = \frac{4}{3} (x - 0) 3 (y - 5) = 4 x 4 x - 3 y + 15 = 0 สูตรระยะทางจากจุด (x_{0}, y_{0}) ไปยังเส้นตรง A x + B y + C = 0 จะได้ d = \frac{|A x_{0} + B y_{0} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} \to 1$

$ดังนั้น ระยะจากจุด F_{2} ไปยังเส้นตรงที่ผ่านจุด F_{1} และ (0, 5) เท่ากับ ? หรือ ระยะจากจุด F_{2} (3, 1) ไปยังเส้นตรง 4 x - 3 y + 15 = 0 เท่ากับ จาก 1 จะได้ d = \frac{|4 (3) - 3 (1) + 15|}{\sqrt{4^{2} + {(- 3)}^{2}}} = \frac{|12 - 3 + 15|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{24}{5}$