ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2556 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 13

กำหนดให้ $P (x)$ เป็นพหุนามดีกรี $4$ ซึ่งมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงและสัมประสิทธิ์ของ $x^{4}$ เท่ากับ $1$ ถ้า $z_{1}$ และ $z_{2}$ เป็นรากที่ $2$ ของ $2 i$ และเป็นคำตอบของสมการ $P (x) = 0$ ด้วย แล้ว $P (1)$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$3$
2
$5$
3
$7$
4
$9$
5
$10$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$สูตรจำนวนเชิงซ้อน z = r (\cos θ + i \sin θ) จะได้ z^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} [\cos (\frac{θ + 2 πk}{n}) + i \sin (\frac{θ + 2 πk}{n})] z^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 πk}{n}) \to a เมื่อ k = 0, 1, . . . ., n - 1$

$จากโจทย์ z_{1} และ z_{2} เป็นรากที่ 2 ของ 2 i กำหนดให้ z = 2 i เปลี่ยน z ในรูปเชิงขั้ว z = r (\cos θ + i \sin θ) z = 2 (\cos \frac{π}{2} + i \sin \frac{π}{2}) จาก a จะได้ z_{1} = z^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π}{2} + 2 π (0)}{2}) \to 1; k = 0$
$และ z_{2} = z^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π}{2} + 2 π (1)}{2}) \to 2; k = 1 จาก 1 จะได้ z_{1} = \sqrt{2} c i s \frac{π}{4} = \sqrt{2} [\cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4}] = \sqrt{2} [\frac{1}{\sqrt{2}} + i (\frac{1}{\sqrt{2}})] = 1 + i$

$จาก 2 จะได้ z_{2} = \sqrt{2} c i s (\frac{\frac{π}{2} + 2 π}{2}) = \sqrt{2} c i s (\frac{5 π}{4}) = \sqrt{2} [c o s (\frac{5 π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{4})] = \sqrt{2} [c o s (π + \frac{π}{4}) + i \sin (π + \frac{π}{4})] = \sqrt{2} [- c o s (\frac{π}{4}) - i \sin (\frac{π}{4})] = \sqrt{2} [- \frac{1}{\sqrt{2}} - i (\frac{1}{\sqrt{2}})] = - 1 - i$

$จากโจทย์ z_{1} และ z_{2} เป็นคำตอบของสมการ P (x) = 0 แสดงว่า P (x) = (x - z_{1}) (x - z_{2}) (. . . . . .) แทน z_{1}, z_{2}; = [x - (1 + i)] [x - (- 1 - i)] (. . . . . .) = [(x - 1) - i] [(x + 1) + i] (. . . . . .) \to 3$

$จากโจทย์ P (x) เป็นพหุนามดีกรี 4 ซึ่งมีสัมประสิทธิ์เป็น จำนวนจริงและสัมประสิทธิ์ของ x^{4} เท่ากับ 1 แสดงว่า ต้องมีรากทั้งหมด 4 จำนวน คือ z_{1}, z_{2}, z_{3} และ z_{4} จะได้ คอนจูเกตของ z_{1} และ z_{2} เป็นคำตอบของ สมการ P (x) = 0 ด้วยเช่นกัน$

$ดังนั้น z_{3} = z_{1} = 1 + i = 1 - i z_{4} = z_{2} = - 1 - i = - 1 + i$

$จาก 3 จะได้ P (x) = [(x - 1) - i] [(x + 1) + i] (x - z_{3}) (x - z_{4}) = [(x - 1) - i] [(x + 1) + i] [x - (1 - i)] [x - (- 1 + i)] = [(x - 1) - i] [(x + 1) + i] [(x - 1) + i] [(x + 1) - i] = [(x - 1) - i] [(x - 1) + i] [(x + 1) + i] [(x + 1) - i] โดย (a - b i) (a + b i) = a^{2} + b^{2};$

$จะได้ P (x) = [{(x - 1)}^{2} + 1^{2}] [{(x + 1)}^{2} + 1^{2}] ดังนั้น P (1) = [{(1 - 1)}^{2} + 1^{2}] [{(1 + 1)}^{2} + 1^{2}] = (0 + 1) (4 + 1) = 5$

ข้อถัดไป