ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2556 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 24

กำหนดให้ $g (x)$ เป็นฟังก์ชันซึ่งมีอนุพันธ์ที่ทุกจุด และ $f (x) = \{\begin{cases} \begin{matrix} \frac{|x + 1|}{1 - x^{2}} \\ g (x) \\ \sqrt{2 x - 3} \end{matrix} & \begin{matrix} ; x < - 1 \\ ; - 1 \leq x \leq 2 \\ ; x > 2 \end{matrix} \end{cases}$

ถ้า $f$ ต่อเนื่องที่ทุกจุด แล้ว $\int_{- 1}^{2} g' (x) d x$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$- \frac{3}{2}$
2
$- \frac{1}{2}$
3
$0$
4
$\frac{1}{2}$
5
$\frac{3}{2}$

เฉลยข้อสอบ

$นิยาม |x + 1| = \{\begin{cases} x + 1 โดย x + 1 \geq 0 \to x \geq - 1 \\ - (x + 1) โดย x + 1 < 0 \to x < - 1 \to a \end{cases} กำหนดให้ f (x) = \{\begin{matrix} \frac{|x + 1|}{1 - x^{2}}; x < - 1 \to 1 \\ g (x); - 1 \leq x \leq 2 \to 2 \\ \sqrt{2 x - 3}; x > 2 \to 3 \end{matrix}$

$จากโจทย์ f ต่อเนื่องที่ทุกจุด แสดงว่า รอยต่อของฟังก์ชัน f ที่ x = - 1 และ x = 2 ต้องต่อเนื่องด้วย$

$พิจารณา x = - 1 เป็น f ต่อเนื่อง จะได้ \lim_{x \to - 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to - 1^{+}} f (x); x \to - 1^{-} เลือกเงื่อนไข 1 x \to - 1^{+} เลือกเงื่อนไข 2 \lim_{x \to - 1^{-}} \frac{|x + 1|}{1 - x^{2}} = \lim_{x \to - 1^{+}} g (x); แทนค่า x \frac{|- 1 + 1|}{1 - (- 1)^{2}} = g (- 1) \frac{0}{0} = g (- 1)$

$ต้องจัดรูป \frac{|x + 1|}{1 - x^{2}} ใหม่ จะได้ \lim_{x \to - 1^{-}} \frac{|x + 1|}{1 - x^{2}} = \lim_{x \to - 1^{-}} \frac{|x + 1|}{(1 - x) (1 + x)} โดยที่ x \to - 1^{-} คือ x < - 1 จาก a จะได้ = \lim_{x \to - 1^{-}} \frac{- (x + 1)}{(1 - x) (1 + x)} ตัด (x + 1) และ (1 + x) = \lim_{x \to - 1^{-}} \frac{- 1}{(1 - x)}; แทนค่า x = \frac{- 1}{1 - (- 1)} = - \frac{1}{2} ดังนั้น g (- 1) = - \frac{1}{2} \to 4$

$พิจารณา x = 2 เป็น f ต่อเนื่อง จะได้ \lim_{x \to 2^{-}} f (x) = \lim_{x \to 2^{+}} f (x); x \to 2^{-} เลือกเงื่อนไข 2 x \to 2^{+} เลือกเงื่อนไข 3 \lim_{x \to 2^{-}} g (x) = \lim_{x \to 2^{+}} \sqrt{2 x - 3}; แทนค่า x g (2) = \sqrt{2 (2) - 3} g (2) = \sqrt{4 - 3} g (2) = 1 \to 5$

$จากโจทย์ \int_{- 1}^{2} g' (x) d x มีค่าเท่ากับข้อใด จะได้ \int_{- 1}^{2} g' (x) d x = g (2) - g (- 1); จาก 4, 5 = 1 - (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$