ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2556 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 28

กำหนดลำดับซึ่งประกอบด้วยจำนวนเต็มบวกทุกจำนวนที่หารด้วย $5$ ไม่ลงตัว เรียงจากน้อยไปหามาก ถ้าผลบวก $n$ พจน์แรกของลำดับนี้เท่ากับ $9000$ แล้ว $n$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$100$
2
$110$
3
$120$
4
$130$
5
$140$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ ลำดับซึ่งประกอบด้วยจำนวนเต็มบวกทุกจำนวน ที่หารด้วย 5 ไม่ลงตัว เรียงจากน้อยไปหามาก จะได้ 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14 ชุดละ 4 ตัว เรียงติดกัน$

$นำมาสร้างอนุกรมของผลบวก จะได้ S_{4} = 1 + 2 + 3 + 4 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) - 5 S_{8} = (1 + 2 + 3 + 4) + (6 + 7 + 8 + 9) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) - (5 + 10) S_{12} = (1 + 2 + 3 + 4) + (6 + 7 + 8 + 9) + (11 + 12 + 13 + 14) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15) - (5 + 10 + 15)$

$ดังนั้น S_{4 k} = (1 + 2 + 3 + 4 + . . . . . + 5 k) - (5 + 10 + . . . . . + 5 k) = \sum_{i = 1}^{5 k} i - \sum_{i = 1}^{k} 5 i = \sum_{i = 1}^{5 k} i - {5 \sum}_{i = 1}^{k} i; \sum_{i = 1}^{N} i = \frac{N (N + 1)}{2} = \frac{5 k (5 k + 1)}{2} - 5 \frac{k (k + 1)}{2} = \frac{25 k^{2} + 5 k}{2} - \frac{5 k^{2} + 5 k}{2} = \frac{20 k^{2}}{2} = 10 k^{2}$

$จากโจทย์ ผลบวก n พจน์แรกของลำดับนี้เท่ากับ 9000 จะได้ S_{4 k} = 9000 10 k^{2} = 9000 k^{2} = 900 k = 30 ดังนั้น S_{4 k} = S_{4 (30)} = S_{120} n = 120 พจน์$