ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2556 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 29

กำหนดให้ $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

$B = \{p (x) | p (x) = a x^{2} + b x + c เมื่อ a, b, c \in A\}$

สุ่มหยิบ $p (x)$ มาหนึ่งตัวจากเซต $B$ ความน่าจะเป็นที่จะได้ $p (x)$ ซึ่ง $\int_{0}^{1} p (x) d x$ มีค่าเป็นจำนวนเต็มเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{1}{12}$
2
$\frac{2}{12}$
3
$\frac{3}{12}$
4
$\frac{4}{12}$
5
$\frac{5}{12}$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ p (x) = a x^{2} + b x + c; \int_{0}^{1} d x ทั้ง 2 ข้าง จะได้ \int_{0}^{1} p (x) d x = \int_{0}^{1} (a x^{2} + b x + c) d x = {\frac{a x^{3}}{3} + \frac{b x^{2}}{2} + c x}_{0}^{1} = [\frac{a {(1)}^{^{3}}}{3} + \frac{b {(1)}^{2}}{2} + c (1)] - [\frac{a {(0)}^{^{3}}}{3} + \frac{b {(0)}^{2}}{2} + c (0)] = \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c \to 1$

$จากโจทย์ A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} เมื่อ a, b, c \in A ความน่าจะเป็นที่จะได้ p (x) ซึ่ง \int_{0}^{1} p (x) d x มีค่าเป็นจำนวนเต็ม จาก 1 \int_{0}^{1} p (x) d x = \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c ต้องมีค่าเป็นจำนวนเต็ม แสดงว่า a \in \{3, 6\}, b \in \{2, 4, 6\} และ c \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} จะได้ n (E) = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix}) a, b, c \in A ซึ่ง A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

$จะได้ n (S) = (\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix}) สูตร P (E) = \frac{n (E)}{n (S)} = \frac{(\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix})} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 6}{6 \cdot 6 \cdot 6} = \frac{1}{6} = \frac{2}{12}$