ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2557 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 1

กำหนดให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน
$z = i^{- 7} + i^{- 5} + i^{- 3} + i$ ค่าของ $|z^{2}|$ เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จาก i = i i^{2} = - 1 i^{3} = - i i^{4} = 1 เมื่อหา i^{n} จะให้เทคนิคเอา 4 หาร แล้วดูเศษที่เหลือ คือ$

เศษ 1	เศษ 2	เศษ 3	เศษ 4
i	-1	-i	1

$จาก z = i^{- 7} + i^{- 5} + i^{- 3} + i = \frac{1}{i^{7}} + \frac{1}{i^{5}} + \frac{1}{i^{3}} + i = \frac{1}{i^{3}} + \frac{1}{i} + \frac{1}{i^{3}} + i = \frac{1}{(- i)} + \frac{1}{i} + \frac{1}{(- i)} + i = \frac{- 1}{i} + i = \frac{- 1 + i^{2}}{i} = (\frac{- 1 - 1}{i}) \cdot \frac{(i)}{(i)} = \frac{- 2 i}{(- 1)} = 2 i$

$จาก z = a + b i = 0 + 2 i |z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} ดังนั้น |z^{2}| = {|z|}^{2} = {|2 i|}^{2} = {(\sqrt{0 + 2^{2}})}^{2} = 4$