ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2557 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 19

กำหนดให้ $A = [a_{i j}]$ เป็นเมทริกซ์มิติ $3 \times 3$
ซึ่ง $d e t (A) > 0$ และ $M_{i j} (A)$ เป็นไมเนอร์ของ $a_{i j}$
โดยที่ $[M_{i j} (A)] = [\begin{matrix} 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 2 & - 4 \\ 5 & 1 & 3 \end{matrix}]$
ถ้า $A^{- 1} = [b_{i j}]$ แล้ว $b_{11} + b_{12} + b_{13}$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{3}{25}$
2
$\frac{4}{25}$
3
$\frac{3}{5}$
4
$\frac{4}{5}$
5
$\frac{9}{5}$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$หาโคแฟกเตอร์ของเมทริกซ์ A และ a d j A จากสูตร C_{i j} = {(- 1)}^{i + j} M_{i j} C_{i j} = [\begin{matrix} M_{11} & - M_{12} & M_{13} \\ - M_{21} & M_{22} & - M_{23} \\ M_{31} & - M_{32} & M_{33} \end{matrix}] ดังนั้น [C_{i j} (A)] = [\begin{matrix} 1 & - (- 1) & 2 \\ - (3) & 2 & - (- 4) \\ 5 & - (1) & 3 \end{matrix}]$

$จากสูตร a d j A = {[C_{i j} (A)]}^{r} ดังนั้น a d j A = [\begin{matrix} 1 & - 3 & 5 \\ 1 & 2 & - 1 \\ 2 & 4 & 3 \end{matrix}] หา d e t A จากสูตร d e t (a d j A) = {(d e t A)}^{n - 1} เมื่อ n = ขนาดของเมทริกซ์จัตุรัส - เมทริกซ์ A มีขนาด 3 \times 3 ดังนั้น n = 3$

$จะได้ {(d e t A)}^{3 - 1} = d e t (a d j A) {(d e t A)}^{2} = |\begin{matrix} 1 & - 3 & 5 \\ 1 & 2 & - 1 \\ 2 & 4 & 3 \end{matrix}| = [6 + 6 + 20] - [20 - 4 - 9] {(d e t A)}^{2} = 25 d e t A = \pm 5; โจทย์กำหนด d e t A > 0 ดังนั้น d e t A = 5$

$หา A^{- 1} จากสูตร A^{- 1} = \frac{1}{d e t A} \cdot a d j A A^{- 1} = \frac{1}{5} \cdot [\begin{matrix} 1 & - 3 & 5 \\ 1 & 2 & - 1 \\ 2 & 4 & 3 \end{matrix}] A^{- 1} = [\begin{matrix} \frac{1}{5} & \frac{- 3}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & \frac{2}{5} & \frac{- 1}{5} \\ \frac{2}{5} & \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix}]$

$จากโจทย์ A^{- 1} = [b_{i j}] ดังนั้น b_{11} + b_{12} + b_{13} = \frac{1}{5} + (- \frac{3}{5}) + 1 = \frac{- 2}{5} + 1 = \frac{3}{5} = 0.6$