ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2557 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 30

กำหนดให้ฟังก์ชัน $f (x) = |\begin{matrix} x & x & x \\ 0 & x - 3 & x \\ 0 & 0 & x + 3 \end{matrix}|$
ถ้า $m$ และ $M$ คือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ และค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ $f$ ตามลำดับ
และ $S = {a | a เป็นจำนวนเต็ม ซึ่ง m \leq f (a) \leq M}$
แล้วจำนวนสมาชิกของ $S$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ f (x) = |\begin{matrix} x & x & x \\ 0 & x - 3 & x \\ 0 & 0 & x + 3 \end{matrix}| จะได้ f (x) = x (x - 3) (x + 3) = x (x^{2} - 9) f (x) = x^{3} - 9 x หาจุดวิกฤตของ f (x) จะได้ f' (x) = 0 3 x^{2} - 9 = 0 x^{2} = 3 x = \pm \sqrt{3}$

$หาค่าสูงสุด - ต่ำสุดสัมพัทธ์ นิยาม f'' (x) > 0 จะเกิดค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ f'' (x) < 0 จะเกิดค่าสูงสุดสัมพัทธ์ จะได้ f (x) = x^{3} - 9 x f' (x) = 3 x^{2} - 9 f'' (x) = 6 x$

$- ที่จุด x = \sqrt{3} จะได้ f'' (\sqrt{3}) = 6 \sqrt{3} > 0 ทำให้เกิดค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ จะได้ ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์คือ f (\sqrt{3}) = {(\sqrt{3})}^{3} - 9 (\sqrt{3}) = 3 \sqrt{3} - 9 (\sqrt{3}) = - 6 \sqrt{3} - ที่จุด x = - \sqrt{3} จะได้ f'' (- \sqrt{3}) = - 6 \sqrt{3} < 0 ทำให้เกิดค่าสูงสุดสัมพัทธ์ จะได้ ค่าสูงสุดสัมพัทธ์คือ f (- \sqrt{3}) = {(- \sqrt{3})}^{3} - 9 (- \sqrt{3}) = - 3 \sqrt{3} + 9 (\sqrt{3}) = 6 \sqrt{3}$
$จากโจทย์ m \leq f (a) \leq M แสดงว่า m = - 6 \sqrt{3} และ M = 6 \sqrt{3} หาจำนวนสมาชิกในเซต S จากโจทย์ S = \{a | a เป็นจำนวนเต็ม ซึ่ง m \leq f (a) \leq M\} จะได้ - 6 \sqrt{3} \leq f (a) \leq 6 \sqrt{3} - 6 (1.732) \leq f (a) \leq 6 (1.732) - 10.392 \leq f (a) \leq 10.392$
$เนื่องจากค่าต่ำสุดสูงสุดสัมพัทธ์ เกิดที่ x = \pm \sqrt{3} ทำให้จำนวนเต็ม a อยู่ในช่วง [- \sqrt{3}, \sqrt{3}] ซึ่งสอดคล้อง m \leq f (a) \leq M แน่นอน แสดงว่า a = - 1, 0, 1 - หาค่า a เพิ่มเติมโดยเลือกแทนค่า เช่น จะได้ f (- 4) = {(- 4)}^{3} - 9 (- 4) = - 28 ผิด f (- 3) = {(- 3)}^{3} - 9 (- 3) = 0 ถูก f (- 2) = {(- 2)}^{3} - 9 (- 2) = 10 ถูก f (- 1) = {(- 1)}^{3} - 9 (- 1) = 8 ถูก$
$f (0) = {(0)}^{3} - 9 (0) = 0 ถูก f (1) = {(1)}^{3} - 9 (1) = - 8 ถูก f (2) = {(2)}^{3} - 9 (2) = - 10 ถูก f (3) = {(3)}^{3} - 9 (3) = 0 ถูก f (4) = {(4)}^{3} - 9 (4) = 28 ผิด$

$ดังนั้น S = \{- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3\} จำนวนสมาชิกของเซต S มีทั้งหมด 7 ตัว$