ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2557 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 29

กำหนดให้ $A = \{- 13, - 11, - 7, - 5, - 3, - 2, 2, 3, 5, 7, 11, 13\}$
ถ้า $S = \{a |b| + |a| b | a, b \in A\}$
แล้วจำนวนสมาชิกของ $S$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
43
2
44
3
53
4
64
5
72

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ A = \{- 13, - 11, - 7, - 5, - 3, - 2, 2, 3, 5, 7, 11, 13\} แสดงว่า เซต A มีจำนวนเต็มบวก 6 จำนวน และมีจำนวนเต็มลบ 6 จำนวน$

$หาจำนวนสมาชิกของเซต S เมื่อ S = \{a |b| + |a| b | a, b \in A\} แบ่งเป็นกรณีดังนี้$
$กรณี 1 a, b เป็นบวกทั้งคู่ (เครื่องหมายเดียวกัน) จะได้ a |b| + |a| b = a b + a b = 2 a b กรณี 1.1 a \neq b เมื่อ a = 2 เลือก b = 3, 5, 7, 11, 13 ได้ 5 แบบ เมื่อ a = 3 เลือก b = 5, 7, 11, 13 ได้ 4 แบบ เมื่อ a = 5 เลือก b = 7, 11, 13 ได้ 3 แบบ เมื่อ a = 7 เลือก b = 11, 13 ได้ 2 แบบ เมื่อ a = 11 เลือก b = 13 ได้ 1 แบบ เมื่อ a = 13 เลือก b ไม่ได้แล้ว ได้ 0 แบบ จะได้ จำนวนแบบ กรณี 1.1 = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 แบบ$
$กรณี 1.2 a = b (a, b) = (2, 2), (3, 3), (5, 5), (7, 7), (11, 11), (13, 13) จะได้ จำนวนแบบ กรณี 1.2 = 6 แบบ ดังนั้น จำนวนแบบทั้งหมด กรณี 1 = 15 + 6 = 21 แบบ$

$กรณี 2 a, b เป็นลบทั้งคู่ (เครื่องหมายเดียวกัน) จะได้ a |b| + |a| b = a (- b) + (- a) b = - 2 a b แสดงว่า จำนวนแบบทั้งหมดในกรณี 2 จะเหมือนกรณี 1 ทั้งหมด เพราะมีสมาชิก 6 ตัวเหมือนกัน เพียงแต่ติดลบ ดังนั้น จำนวนแบบทั้งหมด กรณี 2 = 21 แบบ$

$กรณี 3 a \neq b และมีเครื่องหมายต่างกัน ถ้า a > 0 แต่ b < 0 จะได้ a |b| + |a| b = a (- b) + (a) b = 0 ดังนั้น จำนวนแบบทั้งหมด กรณี 3 ได้เพียง 1 แบบ คือ 0 ดังนั้น จำนวนแบบทั้งหมดจากกรณี 1, 2, 3 = 21 + 21 + 1 = 43 แบบ$