ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2557 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 28

กำหนดให้ $S = \{[\begin{matrix} x & y \\ z & x \end{matrix}] | x, y, z \in \{1, 2, \dots, 10\}\}$

สุ่มหยิบเมทริกซ์จากเซต $S$ มา $1$ เมทริกซ์
ความน่าจะเป็นที่จะได้เมทริกซ์ $[\begin{matrix} x & y \\ z & x \end{matrix}]$
ซึ่ง $x < y$ และ $x < z$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{235}{10000}$
2
$\frac{245}{10000}$
3
$\frac{265}{1000}$
4
$\frac{275}{1000}$
5
$\frac{285}{1000}$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$หา n (S) จำนวนแบบทั้งหมด จะได้ n (S) = 10 \times 10 \times 10 (x, y, z เลือก 1, 2, 3, \dots, 10 ได้ตัวละ 10 แบบ) หา n (E) ที่ทำให้เมทริกซ์ ซึ่ง x < y และ x < z แบ่งเป็นกรณี คือ กรณี x = 1 y และ z เป็น 2, 3, 4, \dots, 10 ได้ตัวละ 9 แบบ = 9 \times 9 = 9^{2} แบบ กรณี x = 2 y และ z เป็น 3, 4, 5, \dots, 10 ได้ตัวละ 8 แบบ = 8 \times 8 = 8^{2} แบบ$

$กรณี x = 3 y และ z เป็น 4, 5, 6, \dots, 10 ได้ตัวละ 7 แบบ = 7 \times 7 = 7^{2} แบบ ⋮ ⋮ กรณี x = 9 y และ z เป็น 10 เท่านั้น ได้ตัวละ 1 แบบ = 1 \times 1 = 1^{2} แบบ กรณี x = 10 จะไม่มี y และ z ที่ตรงกับเงื่อนไข$
$จะได้ n (E) = 9^{2} + 8^{2} + 7^{2} + 6^{2} + 5^{2} + 4^{2} + 3^{2} + 2^{2} + 1^{2} จากสูตรอนุกรมกำลังสอง; 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + . . . + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} = \frac{9}{6} (9 + 1) [2 (9) + 1] = 285 แบบ ดังนั้น ความน่าจะเป็นคือ P (E) = \frac{n (E)}{n (S)} = \frac{285}{1000}$