ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2558

$จากโจทย์ เศษเหลือที่ได้จากการหาร {(995)}^{16} + {(996)}^{8} + {(997)}^{4} + {(998)}^{2} + 999 ด้วย 7 แสดงว่า เศษเหลือที่ได้จากการหาร \frac{{(995)}^{16} + {(996)}^{8} + {(997)}^{4} + {(998)}^{2} + 999}{7} เศษเหลือที่ได้จากการหาร \frac{{(995)}^{16}}{7} + \frac{{(996)}^{8}}{7} + \frac{{(997)}^{4}}{7} + \frac{{(998)}^{2}}{7} + \frac{999}{7}$

$พิจารณาทีละพจน์ พจน์ที่ 1 หาเศษเหลือที่ได้จาการหาร \frac{{(995)}^{16}}{7} โดย 995 = 142 (7) + 1 กำหนดให้ x = 142 (7) ซึ่ง 7 x ทฤษฎีบททวินาม {(995)}^{16} = {[142 (7) + 1]}^{16}; แทนค่า x จะได้ = {(x + 1)}^{16} = (\begin{matrix} 16 \\ 0 \end{matrix}) x^{16} + (\begin{matrix} 16 \\ 1 \end{matrix}) x^{15} {(1)}^{1} + . . . + (\begin{matrix} 16 \\ 15 \end{matrix}) x^{1} {(1)}^{15} + (\begin{matrix} 16 \\ 16 \end{matrix}) {(1)}^{16}$

$มีทั้งหมด N + 1 = 16 + 1 = 17 พจน์ - จะเห็นว่า พจน์ที่ 1 - 16 สามารถหารด้วย 7 ลงตัว เนื่องจากมี x เป็นตัวประกอบ ดังนั้น เศษเหลือที่ได้จากการหาร \frac{{(995)}^{16}}{7} = เศษเหลือที่ได้จากการหารพจน์ที่ 17 ด้วย 7 = เศษเหลือที่ได้จากการหาร \frac{(\begin{matrix} 16 \\ 16 \end{matrix}) {(1)}^{16}}{7} \to \frac{1}{7} = 1$

$พจน์ที่ 2 หาเศษเหลือที่ได้จาการหาร \frac{{(996)}^{8}}{7} โดย 996 = 142 (7) + 2 กำหนดให้ x = 142 (7) ซึ่ง 7 x ทฤษฎีบททวินาม {(996)}^{8} = {[142 (7) + 2]}^{8}; แทนค่า x จะได้ = {(x + 2)}^{8} = (\begin{matrix} 8 \\ 0 \end{matrix}) x^{8} + (\begin{matrix} 8 \\ 1 \end{matrix}) x^{7} {(2)}^{1} + . . . + (\begin{matrix} 8 \\ 7 \end{matrix}) x^{1} {(2)}^{7} + (\begin{matrix} 8 \\ 8 \end{matrix}) {(2)}^{8} มีทั้งหมด N + 1 = 8 + 1 = 9 พจน์$

$- จะเห็นว่า พจน์ที่ 1 - 8 สามารถหารด้วย 7 ลงตัว เนื่องจากมี x เป็นตัวประกอบ ดังนั้น เศษเหลือที่ได้จากการหาร \frac{{(996)}^{8}}{7} = เศษเหลือที่ได้จากการหารพจน์ที่ 8 ด้วย 7 = เศษเหลือที่ได้จากการหาร \frac{(\begin{matrix} 8 \\ 8 \end{matrix}) {(2)}^{8}}{7} = \frac{256}{7} = \frac{36 (7) + 4}{7} = 4$

$พจน์ที่ 3 หาเศษเหลือที่ได้จาการหาร \frac{{(997)}^{4}}{7} โดย 997 = 142 (7) + 3 กำหนดให้ x = 142 (7) ซึ่ง 7 x ทฤษฎีบททวินาม {(997)}^{4} = {[142 (7) + 3]}^{4}; แทนค่า x จะได้ = {(x + 3)}^{4} = (\begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix}) x^{4} + (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) x^{3} {(3)}^{1} + (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) x^{2} {(3)}^{2} + (\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix}) x^{1} {(3)}^{3} + (\begin{matrix} 4 \\ 4 \end{matrix}) {(3)}^{4}$

$มีทั้งหมด N + 1 = 4 + 1 = 5 พจน์ - จะเห็นว่า พจน์ที่ 1 - 4 สามารถหารด้วย 7 ลงตัว เนื่องจากมี x เป็นตัวประกอบ ดังนั้น เศษเหลือที่ได้จากการหาร \frac{{(997)}^{4}}{7} = เศษเหลือที่ได้จากการหารพจน์ที่ 5 ด้วย 7 = เศษเหลือที่ได้จากการหาร \frac{(\begin{matrix} 4 \\ 4 \end{matrix}) {(3)}^{4}}{7} \to \frac{81}{7} \to \frac{11 (7) + 4}{7} = 4$

$พจน์ที่ 4 หาเศษเหลือที่ได้จาการหาร \frac{{(998)}^{2}}{7} โดย 998 = 142 (7) + 4 กำหนดให้ x = 142 (7) ซึ่ง 7 x ทฤษฎีบททวินาม {(998)}^{2} = {[142 (7) + 4]}^{2}; แทนค่า x จะได้ = {(x + 4)}^{2} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix}) x^{2} + (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) x^{1} {(4)}^{1} + (\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}) {(4)}^{2}$

$มีทั้งหมด N + 1 = 2 + 1 = 3 พจน์ - จะเห็นว่า พจน์ที่ 1 และ 2 สามารถหารด้วย 7 ลงตัว เนื่องจากมี x เป็นตัวประกอบ ดังนั้น เศษเหลือที่ได้จากการหาร \frac{{(998)}^{2}}{7} = เศษเหลือที่ได้จากการหารพจน์ที่ 3 ด้วย 7 = เศษเหลือที่ได้จากการหาร \frac{(\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}) {(4)}^{2}}{7} \to \frac{16}{7} = \frac{2 (7) + 2}{7} = 2$

$พจน์ที่ 5 หาเศษเหลือที่ได้จาการหาร \frac{999}{7} โดย 999 = 142 (7) + 5 ดังนั้น เศษเหลือที่ได้จากการหาร \frac{999}{7} = 5 จากพจน์ที่ 1 - 5 จะได้ เศษเหลือที่ได้จากการหาร {(995)}^{16} + {(996)}^{8} + {(997)}^{4} + {(998)}^{2} + 999 ด้วย 7 = 1 + 4 + 4 + 2 + 5 = 16 - ต้องหาร 16 ด้วย 7 อีกครั้งหนึ่ง จะได้เศษเหลือสุดท้าย คือ 2 ดังนั้น เศษเหลือที่ได้จากการหาร {(995)}^{16} + {(996)}^{8} + {(997)}^{4} + {(998)}^{2} + 999 ด้วย 7 เท่ากับ 2$

ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2558 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 11

เฉลยข้อสอบ

Facebook Messenger

แชทผ่าน LINE