ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2558 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 26

กำหนดให้ $S = \{{[a_{i j}]}_{3 \times 3} | a_{i j} \in \{- 1, 1\}\}$ ถ้าสุ่มหยิบเมทริกซ์จากเซต $S$ มา $1$ เมทริกซ์ แล้วความน่าจะเป็นที่จะได้เมทริกซ์ซึ่งผลรวมของสมาชิกทั้งหมดเท่ากับ $3$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{23}{2^{9}}$
2
$\frac{21}{2^{8}}$
3
$\frac{21}{2^{7}}$
4
$\frac{19}{2^{6}}$
5
$\frac{23}{2^{6}}$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ S = \{{[a_{ij}]}_{3 \times 3} | a_{ij} \in \{- 1, 1\}\} แสดงว่า A = {[a_{ij}]}_{3 \times 3} = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}] มีสมาชิก 9 ตำแหน่ง โดยแต่ละตำแหน่ง เลือกสมาชิกได้ 2 วิธี คือ - 1 หรือ 1 จะได้ n (S) = 2^{9}$

$จากโจทย์ ผลรวมของสมาชิกทั้งหมดเท่ากับ 3 แสดงว่า ต้องมีเลข 1 อยู่ 6 ตำแหน่ง และมีเลข - 1 อยู่ 3 ตำแหน่ง เท่านั้น จะได้ n (E) = (\begin{matrix} 9 \\ 6 \end{matrix}) (\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}) = \frac{9!}{6! 3!} (1) = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6!}{6! \times 3 \times 2} = 12 \times 7$

$จากโจทย์ ความน่าจะเป็นที่จะได้เมทริกซ์ ซึ่งผลรวมของสมาชิกเท่ากับ 3 = ? จะได้ P (E) = \frac{n (E)}{n (S)} = \frac{12 \times 7}{2^{9}} = \frac{21}{2^{7}} ดังนั้น ความน่าจะเป็นเท่ากับ \frac{21}{2^{7}}$