ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2558 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 27

กำหนดให้ $A$ และ $B$ เป็นเซตของจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ $A = \{z | I m (z - 2 i) + {[R e (z)]}^{2} \leq 0\}$ และ $B = \{z | I m (z) \geq 0\}$ พื้นที่ของบริเวณ $A \cap B$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{8 \sqrt{2}}{3}$ ตารางหน่วย
2
$\frac{10 \sqrt{2}}{3}$ ตารางหน่วย
3
$\frac{11 \sqrt{2}}{3}$ ตารางหน่วย
4
$\frac{7 \sqrt{3}}{2}$ ตารางหน่วย
5
$\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ ตารางหน่วย

เฉลยข้อสอบ

$กำหนดให้ z = x + yi จากโจทย์ A = \{z | Im (z - 2 i) + {[Re (z)]}^{2} \leq 0\} แสดงว่า Im (z - 2 i) + {[Re (z)]}^{2} \leq 0; แทน z = x + yi จะได้ Im ((x + yi) - 2 i) + {[Re (x + yi)]}^{2} \leq 0 Im (x + (y - 2) i) + {[Re (x + yi)]}^{2} \leq 0 (y - 2) + x^{2} \leq 0 y \leq - x^{2} + 2$

$หาทิศทางของอสมการ โดยแทน x = 0, y = 0 ในอสมการ จะได้ 0 \leq - 0^{2} + 2 0 \leq 2 แสดงว่า y \leq - x^{2} + 2 ทิศทางวิ่งเข้า (0, 0) เปลี่ยนอสมการเป็นสมการ จะได้ y = - x^{2} + 2 y - 2 = - x^{2}; โดย y - k = a {(x - h)}^{2} เป็นกราฟพาราโบลาคว่ำ (a ติดลบ), (h, k) = (0, 2)$

$หาจุดตัดแกน x แทน y = 0 จะได้ 0 = - x^{2} + 2 x^{2} = 2 x = \pm \sqrt{2} จะได้ จุดตัดแกน x คือ (- \sqrt{2}, 0), (\sqrt{2}, 0) - วาดกราฟพาราโบลา$

$จากโจทย์ B = \{z | Im (z) \geq 0\} แสดงว่า Im (z) \geq 0; แทน z = x + yi lm (x + yi) \geq 0 y \geq 0 - วาดกราฟ$

$พื้นที่ของบริเวณ A \cap B = พื้นที่ส่วนที่ซ้อนทับกันของ A และ B - วาดกราฟ A \cap B$

$จากกราฟ A \cap B จะได้ พื้นที่ของบริเวณ A \cap B = \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (- x^{2} + 2) d x {= \frac{- x^{3}}{3} + 2 x}_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} = (\frac{- 2 \sqrt{2}}{3} + 2 \sqrt{2}) - (\frac{2 \sqrt{2}}{3} - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 4 \sqrt{2}}{3} + 4 \sqrt{2} = \frac{8 \sqrt{2}}{3}$