ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2558 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 4

กำหนดให้ $θ$ เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์ $\bar{u}$ และ $\bar{v}$ ถ้า $\bar{u} \cdot \bar{v} = \sqrt{3}$ และ $|\bar{u} \times \bar{v}| = 1$ แล้ว $\sin^{2} θ$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

เฉลยข้อสอบ

$สูตรเวกเตอร์ u \cdot v = |u| |v| \cos θ \to 1 |u \times v| = |u| |v| \sin θ \to 2 จากโจทย์ u \cdot v = \sqrt{3} จาก 1 u \cdot v = |u| |v| \cos θ จะได้ |u| |v| \cos θ = \sqrt{3} \to 3$

$จากโจทย์ |u \times v| = 1 จาก 2 |u \times v| = |u| |v| \sin θ จะได้ |u| |v| \sin θ = 1 \to 4 นำ \frac{4}{3} จะได้ \frac{|u| |v| \sin θ}{|u| |v| \cos θ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$tanθ = \frac{1}{\sqrt{3}} θ = 30 ° ดังนั้น \sin^{2} θ = \sin^{2} 30 ° = {(\sin 30 °)}^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2} = 0.25$