ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2559 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 15

ให้ $u, v$ และ $w$ เป็นเวกเตอร์ใดๆ ในระบบพิกัดฉากสามมิติ พิจารณาข้อความต่อไปนี้

ก. $(u \times v) \cdot w = u \cdot (v \times w)$

ข. $(u \times v) \times w = u \times (v \times w)$

ค. $(u - v) \cdot (u + v) = {|u|}^{2} - {|v|}^{2}$

ง. $(u - v) \times (u + v) = 2 (u \times v)$

จำนวนข้อความที่ถูกต้อง เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$0$ (ไม่มีข้อความใดถูก)
2
$1$
3
$2$
4
$3$
5
$4$

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ (ก .) (u \times v) \cdot w = u \cdot (v \times w) - พิจารณาฝั่งขวา u \cdot (v \times w) = v \cdot (w \times u) = w \cdot (u \times v) = (u \times v) \cdot w ดังนั้น ข้อ ก . ถูก$

$จากโจทย์ (ข .) (u \times v) \times w = u \times (v \times w) - กำหนดให้ v = i, v = i, w = j จะได้ (\bar{i} \times i) \times j = i \times (i \times j) 0 \times j = i \times k 0 = i \times k ดังนั้น ข้อ ข . ผิด$

$จากโจทย์ (ค .) (u - v) \cdot (u + v) = {|u|}^{2} - {|v|}^{2} - พิจารณาฝั่งซ้าย (u - v) \cdot (u + v) = u \cdot u + u \cdot v - v \cdot u - v \cdot v = {|u|}^{2} - {|v|}^{2} ดังนั้น ข้อ ค . ถูก$

$จากโจทย์ (ง .) (u - v) \times (u + v) = 2 (u \times v) - พิจารณาฝั่งซ้าย (u - v) \times (u + v) = u \times u + u \times v - v \times u - v \times v; u \times v = - v \times u = 0 + u \times v + u \times v - 0 = 2 (u \times v) ดังนั้น ข้อ ง . ถูก$