ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2559 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 24

ถ้าลำดับ $a_{n} = \int_{n}^{\frac{n (n + 2)}{2}} \frac{1}{x^{2}} d x$ แล้ว $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n}$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{1}{4}$
2
$\frac{1}{2}$
3
$\frac{3}{4}$
4
$1$
5
$\frac{5}{4}$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ a_{n} = \int_{n}^{\frac{n (n + 2)}{2}} \frac{1}{x^{2}} d x จะได้ a_{n} = {\frac{x^{- 1}}{- 1}}_{n}^{\frac{n (n + 2)}{2}} = {- x^{- 1}}_{n}^{\frac{n (n + 2)}{2}} = - ({(\frac{n (n + 2)}{2})}^{- 1} - {(n)}^{- 1})$

$= - (\frac{2}{n (n + 2)} - \frac{1}{n}) = - (\frac{2 - n - 2}{n (n + 2)}) = \frac{n}{n (n + 2)} = \frac{1}{n + 2}$

$ดังนั้น \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n (n + 2)} = \frac{1}{2} (\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2})) = \frac{1}{2} ((\frac{1}{1} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{6}) + . . .) = \frac{1}{2} (\frac{1}{1} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} (\frac{3}{2}) = \frac{3}{4}$

ข้อถัดไป