ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2560 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 16

กำหนดให้ $a, b$ เป็นจำนวนจริง ถ้า $\bar{v} = (\sin 80 ° + \sin 20 °) \vec{i} + a \vec{j} + b \vec{k}$

และ $|\bar{v} \times \vec{i}| = \sin 70 ° + \sin 10 °$ แล้ว ${|\bar{v}|}^{2}$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$1$
2
$3$
3
$5$
4
$6$
5
$7$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$สูตรตรีโกณ \sin A + \sin B = 2 \sin (\frac{A + B}{2}) \cos (\frac{A - B}{2}) |u \times v| = |u| |v| \sin θ u \cdot v = |u| |v| \cos θ \to a$

$จากโจทย์ \bar{v} = (s i n 80 ° + s i n 20 °) i + a j + b k = [2 s i n (\frac{80 + 20}{2}) c o s (\frac{80 - 20}{2})] i + a j + b k = (2 s i n 50 ° c o s 30 °) i + a j + b k = (2 s i n 50 ° \frac{\sqrt{3}}{2}) i + a j + b k = (\sqrt{3} s i n 50 °) i + a j + b k$

$จากโจทย์ |v \times i| = s i n 70 ° + s i n 10 ° |v| |i| s i n θ = 2 s i n (\frac{70 + 10}{2}) c o s (\frac{70 - 10}{2}); โดย |i| = 1 |v| s i n θ = 2 s i n 40 ° c o s 30 ° |v| s i n θ = 2 s i n 40 ° \frac{\sqrt{3}}{2} |v| s i n θ = \sqrt{3} s i n 40 °; ยกกำลัง 2 ทั้ง 2 ข้าง {|v|}^{2} s i n^{2} θ = 3 s i n^{2} 40 ° \to 1 ต้องหา {|v|}^{2} \cos^{2} θ เพื่อเข้าสูตร \sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1$

$จาก a v \cdot i = |v| |i| c o s θ; โดย |i| = 1 จะได้ [\begin{matrix} \sqrt{3} s i n 50 ° \\ a \\ b \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] = |v| (1) c o s θ \sqrt{3} s i n 50 ° = |v| c o s θ; ยกกำลัง 2 ทั้ง 2 ข้าง {|v|}^{2} c o s^{2} θ = 3 s i n^{2} 50 ° \to 2$

$นำ 1 + 2 {|v|}^{2} s i n^{2} θ + {|v|}^{2} c o s^{2} θ = 3 s i n^{2} 40 ° + 3 s i n^{2} 50 ° โดย s i n θ = c o s (90 ° - θ); {|v|}^{2} [s i n^{2} θ + c o s^{2} θ] = 3 s i n^{2} 40 ° + 3 c o s^{2} 40 ° โดย s i n^{2} θ + c o s^{2} θ = 1; {|v|}^{2} (1) = 3 (s i n^{2} 40 ° + c o s^{2} 40 °) โดย s i n^{2} 40 ° + c o s^{2} 40 ° = 1; {|v|}^{2} = 3 (1) ดังนั้น {|v|}^{2} = 3$