ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2561 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 14

ให้ $r$ และ $s$ เป็นจำนวนจริงบวก ถ้า $P (2, 2)$ เป็นจุดบนวงรีที่มีสมการเป็น $\frac{{(x + 2)}^{2}}{r^{2}} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{s^{2}} = 1$ ซึ่งมีจุด $F_{1}$ และ $F_{2}$ เป็นโฟกัสของวงรี และ $P F_{1} + P F_{2} = 12$ แล้วระยะห่างระหว่าง $F_{1}$ และ $F_{2}$ ตรงกับข้อใดต่อไปนี้

1
$4$ หน่วย
2
$5$ หน่วย
3
$2 \sqrt{5}$ หน่วย
4
$5 \sqrt{2}$ หน่วย
5
$4 \sqrt{5}$ หน่วย

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$นิยาม สมการวงรี \frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1 \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1 โดย c^{2} = a^{2} - b^{2} \to 1 - ถ้า P (x, y) เป็นจุดบนวงรี F_{1}, F_{2} เป็นจุดโฟกัสของวงรี จะได้ P F_{1} + P F_{2} = 2 a \to 2$

$จากโจทย์ P (2, 2) เป็นจุดบนวงรีที่มีสมการเป็น \frac{{(x + 2)}^{2}}{r^{2}} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{s^{2}} = 1 - แทนค่า x = 2, y = 2 ในสมการ จะได้ \frac{{(2 + 2)}^{2}}{r^{2}} + \frac{{(2 - 2)}^{2}}{s^{2}} = 1 \frac{4^{2}}{r^{2}} = 1 r = 4$

$จากโจทย์ P F_{1} + P F_{2} = 12 จาก 2 จะได้ 2 r = 12 หรือ 2 s = 12 r = 6 s = 6 ขัดแย้งกับข้างต้น ไม่ขัดเเย้ง ดังนั้น s = 6$

$จาก 1 c^{2} = a^{2} - b^{2} จะได้ c^{2} = s^{2} - r^{2}; แทนค่า s, r c^{2} = 6^{2} - 4^{2} c^{2} = 36 - 16 c^{2} = 20 c = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5} ดังนั้น ระยะห่างระหว่าง F_{1} และ F_{2} = 2 c = 2 (2 \sqrt{5}) = 4 \sqrt{5}$