ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2561 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 13

ผลบวกของจำนวนเชิงซ้อน $z$ ทั้งหมด ที่สอดคล้องกับสมการ $|z^{2} - 1| = i z + 3$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$2$
2
$3 - i$
3
$- i$
4
$i$
5
$3 + i$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ |z^{2} - 1| = i z + 3$

$กำหนดให้ z = a + b i$

$จะได้ |{(a + b i)}^{2} - 1| = i (a + b i) + 3 |a^{2} + 2 a b i + b i^{2} - 1| = a i + b i^{2} + 3 |(a^{2} - b^{2} - 1) + 2 a b i| = (- b + 3) + a i \to 1 แต่ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน || ต้องเป็นจำนวนจริงเท่านั้น$

$แสดงว่า a = 0$

$จาก 1 จะได้ |(- b^{2} - 1)| = - b + 3 |- b^{2} - 1| = - b + 3 \to 2$

$กรณี 1 |- b^{2} - 1| = - b^{2} - 1 เมื่อ - b^{2} - 1 ⩾ 0 จาก 2 จะได้ - b^{2} - 1 = - b + 3 b^{2} - b + 4 = 0 b = \frac{- (- 1) \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 (1) (4)}}{2 (1)} b = \frac{1 \pm \sqrt{- 15}}{2} เป็นไปไม่ได้ เพราะ \sqrt{} ติดลบ$

$กรณี 2 |- b^{2} - 1| = - (- b^{2} - 1) เมื่อ - b^{2} - 1 < 0 จาก 2 จะได้ - (- b^{2} - 1) = - b + 3 เมื่อ b^{2} + 1 > 0 b^{2} + 1 = - b + 3 เมื่อ b^{2} > - 1 b^{2} + b - 2 = 0 เมื่อ b \in R (b + 2) (b - 1) = 0 b = - 2, 1 แสดงว่า z_{1} = - 2 i, z_{2} = i$

$ดังนั้น ผลบวกของจำนวนเชิงซ้อน z = z_{1} + z_{2} = - 2 i + i = - i$

ข้อถัดไป