ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2561 (วิชาสามัญเก่า)

$\mathrm{จากโจทย์} \left|z^2-1\right|=iz+3$

$\mathrm{กำหนดให้} z=a+bi$

$$\begin{gathered} \mathrm{จะได้} \left|{\left(a+bi\right)}^2-1\right|=i\left(a+bi\right)+3 \\ \left|a^2+2abi+b{i}^2-1\right|=ai+b{i}^2+3 \\ \left|\left(a^2-b^2-1\right)+2abi\right|=\left(-b+3\right)+ai\to \overline{)1} \\ \mathrm{แต่ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em} \left|\right| \mathrm{ต้องเป็นจำนวนจริงเท่านั้น} \end{gathered}$$

$\mathrm{แสดงว่า} a=0$

$$\begin{gathered} \mathrm{จาก}\overline{)1} \mathrm{จะได้} \left|\left(-b^2-1\right)\right|=-b+3 \\ \left|-b^2-1\right|=-b+3\to \overline{)2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{กรณี}\mathbf{ }\mathbf{1} \left|-b^2-1\right|=-b^2-1 \mathrm{เมื่อ} -b^2-1⩾0 \\ \mathrm{จาก}\overline{)2} \mathrm{จะได้} -b^2-1 =-b+3 \\ b^2-b+4=0 \\ b=\frac{-\left(-1\right)\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4\left(1\right)\left(4\right)}}{2\left(1\right)} \\ b=\frac{1\pm \sqrt{-15}}{2} \\ \mathrm{เป็นไปไม่ได้} \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{เพราะ}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\sqrt{} \mathrm{ติดลบ} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{กรณี}\mathbf{ }\mathbf{2} \left|-b^2-1\right|=-\left(-b^2-1\right) \mathrm{เมื่อ} -b^2-1<0 \\ \mathrm{จาก}\overline{)2} \mathrm{จะได้} -\left(-b^2-1\right)=-b+3 \mathrm{เมื่อ} b^2+1>0 \\ b^2+1=-b+3 \mathrm{เมื่อ} b^2>-1 \\ b^2+b-2=0 \mathrm{เมื่อ} b\in R \\ \left(b+2\right)\left(b-1\right)=0 \\ b=-2,1 \\ \mathrm{แสดงว่า} z_1=-2i , z_2=i \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ผลบวกของจำนวนเชิงซ้อน}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}z =z_1+z_2 \\ =-2i+i \\ =-i \end{gathered}$$