ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2561 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 12

ให้ $S$ เป็นเซตจำนวนเต็มบวก $n$ โดยที่ $n < 100$ และ $n$ มีตัวหารเป็นจำนวนเต็มบวก $12$ จำนวน ถ้า $n_{1}$ คือจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดใน $S$ ถ้า $n_{2}$ คือจำนวนเต็มที่มากที่สุดใน $S$ แล้ว $n_{2} - n_{1}$ มีค่าเท่ากับข้อใด

1
$12$
2
$20$
3
$36$
4
$38$
5
$40$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$- S เป็นเซตของจำนวนบวก n โดยที่ n < 100 นั่นคือ S = \{1, 2, 3, . . ., 99\} - โจทย์ให้จำนวนตัวประกอบทั้งหมดที่หาร n ลงตัวคือ 12 จำนวน สมมุติให้ n = a^{p} \times b^{q} \times c^{r}; เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนเฉพาะ สูตร จำนวนตัวประกอบที่หาร n ลงตัว = (p + 1) (q + 1) (r + 1) ดังนั้น 12 = (p + 1) (q + 1) (r + 1)$

$- ลองพิจารณา 1 ตัวประกอบของเลข 12 ได้แก่ 1 \times 12, 2 \times 6, 3 \times 4, 2 \times 2 \times 3 เหมือนกับ (p + 1) (q + 1), (p + 1) (q + 1), (p + 1) (q + 1), (p + 1) (q + 1) (r + 1)$

$จะได้ (0 + 1) (11 + 1), (1 + 1) (5 + 1), (2 + 1) (3 + 1), (1 + 1) (1 + 1) (2 + 1) ดังนั้น p = 0 / q = 11, p = 1 / q = 5, p = 2 / q = 3, p = 1 / q = 1 / r = 2 นั่นคือ n = a^{0} \times b^{11}, a^{1} \times b^{5}, a^{2} \times b^{3}, a^{1} \times b^{1} \times c^{2}$

$⦁ พิจารณา n = a^{0} \times b^{11} = b^{11} สมมติให้ b เป็นจำนวนเฉพาะที่มีค่าน้อยสุดนั่นคือ b = 2 ดังนั้น b^{11} = 2^{11} = 2048 \to ใช้ไม่ได้ (เกิน 99) \otimes$

$⦁ พิจารณา n = a^{1} \times b^{5} - สมมติ a = 2, b = 3 จะได้ n = 2 \times 3^{5} = 2 \times 243 = 486 \to ใช้ไม่ได้ (เกิน 99) \otimes - สมมติ a = 3, b = 2 จะได้ n = 3 \times 2^{5} = 3 \times 32 = 96 \to ใช้ได้ (ไม่เกิน 99)$

$⦁ พิจารณา n = a^{2} \times b^{3} - สมมติ a = 3, b = 2 จะได้ n = 3^{2} \times 2^{3} = 9 \times 8 = 72 \to ใช้ได้ - สมมติ a = 2, b = 3 จะได้ n = 2^{2} \times 3^{3} = 4 \times 27 = 108 \to ใช้ไม่ได้ \otimes - สมมติ a = 5, b = 2 จะได้ n = 5^{2} \times 2^{3} = 25 \times 8 = 400 \to ใช้ไม่ได้ \otimes$

$⦁ พิจารณา n = a^{1} \times b^{1} \times c^{2} - สมมติ a = 2, b = 3, c = 5 จะได้ n = 2^{1} \times 3^{1} \times 5^{2} = 6 \times 25 = 150 \to ใช้ไม่ได้ \otimes - สมมติ a = 5, b = 3, c = 2 จะได้ n = 5^{1} \times 3^{1} \times 2^{2} = 15 \times 4 = 60 \to ใช้ได้ - สมมติ a = 5, b = 2, c = 3 จะได้ n = 5^{1} \times 2^{1} \times 3^{2} = 10 \times 9 = 90 \to ใช้ได้$

$- สมมติ a = 2, b = 3, c = 7 จะได้ n = 2^{1} \times 3^{1} \times 7^{2} = 6 \times 49 = 294 \to ใช้ไม่ได้ \otimes - สมมติ a = 7, b = 3, c = 2 จะได้ n = 7^{1} \times 3^{1} \times 2^{2} = 21 \times 4 = 84 \to ใช้ได้ - สมมติ a = 7, b = 2, c = 3 จะได้ n = 7^{1} \times 2^{1} \times 3^{2} = 14 \times 9 = 126 \to ใช้ไม่ได้ \otimes$

$ดังนั้น S = \{60, 72, 84, 90, 96\} จะได้ n_{1} = 60, n_{2} = 96 ดังนั้น n_{2} - n_{1} = 96 - 60 = 36$

ข้อถัดไป