ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2561 (วิชาสามัญเก่า)

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} A{B}^t = I \\ \mathrm{แสดงว่า} A \mathrm{กับ} B^t \mathrm{เป็นอินเวอร์สกัน} (A·A^{-1}=I) \\ \mathrm{พิจารณาข้อความ} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} ก) \mathrm{จากโจทย์} A{B}^t=B^{t}A \\ \mathrm{จะได้} A{B}^t=B^{t}A=I \\ \mathrm{เนื่องจาก} A \mathrm{กับ} B^t \mathrm{เป็นอินเวอร์สกัน} \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ข้อ} (ก) \mathrm{ถูกต้อง} \\ ข) \mathrm{จากโจทย์} A^{-1}=B^t \\ \mathrm{โดย} A{B}^t= I \mathrm{และ} A·A^{-1}=I \\ \mathrm{แสดงว่า} B^t=A^{-1} \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ข้อ} \left(ข\right) \mathrm{ถูกต้อง} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left(ค\right) \mathrm{จากโจทย์} B^{-1}=A^t \\ \mathrm{โดย} A^{-1}=B^t ; take \mathrm{ทรานสโพส} \\ \mathrm{จะได้} (A^{-1}{)}^t=(B^t{)}^t \\ (A^t{)}^{-1}=B ; take \mathrm{อินเวอร์ส} \\ [(A^t{)}^{-1}{]}^{-1}=B^{-1 } \\ A^t = B^{-1} \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ข้อ} (ค) \mathrm{ถูกต้อง} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left(ง\right) \mathrm{จากโจทย์} (AB{)}^{-1}=(BA{)}^{t } \\ \mathrm{จะได้} B^{-1}{A}^{-1}=A^t{B}^t \mathrm{โดย} {\mathrm{B}}^{-1}={\mathrm{A}}^{\mathrm{t}} , {\mathrm{A}}^{-1}={\mathrm{B}}^{\mathrm{t}} \\ A^t{B}^t=A^t{B}^t \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ข้อ} \left(ง\right) \mathrm{ถูกต้อง} \end{gathered}$$