ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2561 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 30

ถ้า $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}$ เป็นลำดับเลขคณิต ซึ่งมี $a_{1} = \frac{π}{12}$ และ $d = \frac{π}{3}$ แล้ว $\sum_{n = 1}^{65} \sin (a_{n})$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$- \sqrt{2}$
2
$- \frac{1}{\sqrt{2}}$
3
$0$
4
$\frac{1}{\sqrt{2}}$
5
$\sqrt{2}$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากสูตร \sin (π + θ) = - \sin θ \to \sin (π + θ) + \sin θ = 0 แสดงว่า ถ้ามุมห่างกัน π แล้ว ผลรวมของ \sin จะเท่ากับ 0 จากโจทย์ a_{1}, a_{2}, a_{3}, . . ., a_{n} เป็นลำดับเลขคณิต a_{1} = \frac{π}{12} และ d = \frac{π}{3}$
_{$จะได้ a_{2} = a_{1} + d = \frac{π}{12} + \frac{π}{3} a_{3} = a_{1} + 2 d = \frac{π}{12} + \frac{2 π}{3} a_{4} = a_{1} + 3 d = \frac{π}{12} + \frac{3 π}{3} = \frac{π}{12} + π แสดงว่า \sin a_{1} + \sin a_{4} = \sin \frac{π}{12} + \sin (\frac{π}{12} + π) = 0 \to 1$

$\sin a_{2} + \sin a_{5} = 0 \to 2 \sin a_{3} + \sin a_{6} = 0 \to 3 น่า 1 + 2 + 3 \sin a_{1} + \sin a_{2} + . . . \sin a_{6} = 0 แสดงว่า ผลบวกของ \sin 6 พจน์แรก = 0$}

$จากโจทย์ \sum_{n = 1}^{65} \sin (a_{n}) = (\sin a_{1} + \sin a_{2} + . . . \sin a_{6}) + (\sin a_{7} + \sin a_{8} + . . . \sin a_{12}) + . . . + \sin a_{65} = (\sin a_{1} + \sin a_{2} + . . . \sin a_{66}) - \sin a_{66} โดย \sin a_{1} + \sin a_{2} + . . . + \sin a_{66} แบ่งเป็นกลุ่มๆ ละ 6 ตัว$

$จะได้ \sum_{n - 1}^{65} \sin (a_{n}) = \underset{10 ตัว}{\underset{⏟}{0 + 0 + . . . + 0} - \sin a_{66}} = - \sin a_{66} = - \sin [a_{1} + (66 - 1) d] = - \sin [\frac{π}{12} + 65 (\frac{π}{3})] = - \sin (\frac{261 π}{12})$
$= - \sin (\frac{87 π}{4}) = - \sin (22 π - \frac{π}{4}) = - (- \sin \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

สิ้นสุดแบบฝึกหัด