ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2561 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 29

ให้ $S = \{- 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 1, 2, 3, 4, 5\}$

$A = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}]$ และ $M = \{[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] | a, b, c, d \in S\}$

ถ้าสุ่มหยิบ $1$ เมทริกซ์จากเซต $M$ แล้วความน่าจะเป็นที่จะได้เมทริกซ์ $B$ ซึ่ง $d e t (A + B) = d e t A + d e t B$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{1}{100}$
2
$\frac{3}{100}$
3
$\frac{1}{20}$
4
$\frac{1}{10}$
5
$\frac{11}{100}$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ S = \{- 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 1, 2, 3, 4, 5\} จะได้ จำนวนสมาชิกของ S = 10 จากโจทย์ M = \{[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] a, b, c, d \in S\} สุ่มหยิบ 1 เมทริกซ์จากเซต M จะได้ จำนวนแซมเปิลสเปซ = n (S) n (S) = 10 \times 10 \times 10 = 10 (a, b, c, d เลือกได้ตัวละ 10 วิธี)$

$จากโจทย์ ความน่าจะเป็นที่จะได้เมทริกซ์ B ซึ่ง d e t (A + B) = d e t A + d e t B \to 1 กำหนดให้ B = [\begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix}]$

$จาก 1 จะได้ d e t ([\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix}]) = d e t [\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}] + d e t [\begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix}] |\begin{matrix} e & f + 1 \\ g - 1 & h \end{matrix}| = [0 (0) - (- 1) (1)] + [e h - g f]$

$e h - (g - 1) (f + 1) = 1 + e h - g f e h - (g f + g - f - 1) = 1 + e h - g f - g f - g + f + 1 = 1 - g f g = f$

$แสดงว่า - e, h เลือกได้ตัวละ 10 แบบ \to 10 \times 10 วิธี - g, f เลือกได้ 10 แบบ \to 10 \times 1 วิธี (f ต้องเหมือน g เลือกได้ 1 วิธี) จะได้ จำนวนเหตุการณ์ = n (E) = 10 \times 10 \times 10 \times 1$

$จากสูตร P (E) = \frac{n (E)}{n (S)} = \frac{10 \times 10 \times 10 \times 1}{10 \times 10 \times 10 \times 10} = \frac{1}{10} ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้เมทริกซ์ B เท่ากับ \frac{1}{10}$