ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2563 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 8

$\sum_{n = 0}^{\infty} {(\sqrt{2} \sin \frac{π}{12})}^{2 n}$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$\sqrt{2}$
2
$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
3
$2$
4
$2 \sqrt{3}$
5
$4$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ \sum_{n = 0}^{\infty} {(\sqrt{2} \sin \frac{π}{12})}^{2 n} = 1 + {(\sqrt{2} \sin \frac{π}{12})}^{2} + {(\sqrt{2} \sin \frac{π}{12})}^{4} + {(\sqrt{2} \sin \frac{π}{12})}^{6} + \dots$

$จะเห็นว่า เป็นอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ที่มี a_{1} = 1 และ r = {(\sqrt{2} \sin \frac{π}{12})}^{2} ต้องตรวจสอบว่า |r| < 1 หรือไม่ก่อนใช้สูตร S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r} เมื่อ |r| < 1$

$จะเห็นว่า 0 \leq {(\sqrt{2} \sin \frac{π}{12})}^{2} < {(\sqrt{2} \sin \frac{π}{4})}^{2} = {(\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} = 1 0 \leq r < 1$

$จะได้ S_{\infty} = \frac{1}{1 - {(\sqrt{2} \sin \frac{π}{12})}^{2}} = \frac{1}{1 - 2 \sin^{2} \frac{π}{12}} = \frac{1}{\cos (2 \cdot \frac{π}{12})}$

$= \frac{1}{\cos \frac{π}{6}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} ดังนั้น ตอบ 2$

ข้อถัดไป