ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2561

ข้อ 10

กำหนดให้ $A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 1 & 3 \end{matrix}]$ และ $B = [\begin{matrix} - 3 & 1 \\ a & b \end{matrix}]$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง

ถ้า $(A - B) B = B (A - B)$ แล้วค่าของ $d e t (A + B)$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$- \frac{3}{2}$
2
$- \frac{1}{2}$
3
$\frac{5}{2}$
4
$\frac{7}{2}$
5
$\frac{13}{2}$

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ (A - B) B = B (A - B) AB - BB = BA - BB AB = BA จากโจทย์ A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 1 & 3 \end{matrix}] และ B = [\begin{matrix} - 3 & 1 \\ a & b \end{matrix}] จะได้ [\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 1 & 3 \end{matrix}] [\begin{matrix} - 3 & 1 \\ a & b \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 3 & 1 \\ a & b \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 1 & 3 \end{matrix}]$

$[\begin{matrix} - 3 + 2 a & 1 + 2 b \\ 3 + 3 a & - 1 + 3 b \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 3 - 1 & - 6 + 3 \\ a - b & 2 a + 3 b \end{matrix}] [\begin{matrix} - 3 + 2 a & 1 + 2 b \\ 3 + 3 a & - 1 + 3 b \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 4 & - 3 \\ a - b & 2 a + 3 b \end{matrix}]$

$- เทียบสมาชิกในแถวที่ 1 หาค่า a, b แสดงว่า - 3 + 2 a = - 4 และ 1 + 2 b = - 3 a = - 0.5 b = - 2 - แทนค่า a, b ใน B จะได้ B = [\begin{matrix} - 3 & 1 \\ - 0.5 & - 2 \end{matrix}]$

$ดังนั้น \det (A + B) = |A + B| = |[\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 1 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - 3 & 1 \\ - 0.5 & - 2 \end{matrix}]| = |\begin{matrix} - 2 & 3 \\ - 1.5 & 1 \end{matrix}| = - 2 (1) - (- 1.5) (3) = - 2 + 4.5 = 2.5 = \frac{5}{2}$