ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2561

ข้อ 11

กำหนดให้เวกเตอร์ $\bar{a} = \bar{i} + \bar{j} - 2 \bar{k}$ ถ้า $\bar{b}$ เป็นเวกเตอร์ในสามมิติ โดยที่ $(\bar{b} + \bar{a}) \cdot (\bar{b} - \bar{a}) = 10$ และเวกเตอร์ $\bar{a}$ ทำมุม $60 °$ กับเวกเตอร์ $\bar{b}$ แล้วขนาดของเวกเตอร์ $\bar{a} \times \bar{b}$ อยู่ในช่วงในข้อใดต่อไปนี้

1
$(0, 2]$
2
$(2, 4]$
3
$(4, 6]$
4
$(6, 8]$
5
(8,10]

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ (\bar{b} + \bar{a}) \cdot (\bar{b} - \bar{a}) = 10 จะได้ b b - b a + a b - a a = 10 โดย u \cdot v = v \cdot u; จะได้ b b - a a = 10 โดย u \cdot u = {|u|}^{2}; จะได้ {|b|}^{2} - {|a|}^{2} = 10 \to 1$

$จากโจทย์ \bar{a} = \bar{i} + \bar{j} - 2 \bar{k} จะได้ |a| = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + {(- 2)}^{2}} |a| = \sqrt{6}; แทนใน 1 จาก 1 จะได้ {|b|}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2} = 10 {|b|}^{2} = 16 |b| = 4$

$ดังนั้น ขนานของเวกเตอร์ a \times b = |a \times b| = |a| |b| sinθ = \sqrt{6} (4) \sin 60 ° = \sqrt{6} (4) (\frac{\sqrt{3}}{2}) = 6 \sqrt{2} \approx 6 (1.4) \approx 8.4 อยู่ในช่วง (8, 10]$