ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2561

ข้อ 14

$\lim_{x \to 4} \frac{2^{\sqrt{x}} x^{2} - 2^{3 + \sqrt{x}} \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$32$
2
$64$
3
$80$
4
$96$
5
$128$

เฉลยข้อสอบ

$จากสูตร a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2}) จากโจทย์ \lim_{x \to 4} \frac{2^{\sqrt{x}} x^{2} - 2^{3 + \sqrt{x}} \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} - แทนค่า x = 4 ใน limit จะได้ \frac{2^{\sqrt{4}} {(4)}^{2} - 2^{3 + \sqrt{4}} \sqrt{4}}{\sqrt{4} - 2} = \frac{2^{2} (16) - 2^{5} (2)}{2 - 2} = \frac{0}{0}$

$แสดงว่า ต้องจัดรูปข้างใน limit ใหม่ จะได้ = \lim_{x \to 4} \frac{2^{\sqrt{x}} {(\sqrt{x})}^{4} - 2^{3} \cdot 2^{\sqrt{x}} \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}; ดึงตัวร่วม = \lim_{x \to 4} \frac{2^{\sqrt{x}} \sqrt{x} [{(\sqrt{x})}^{3} - 2^{3}]}{\sqrt{x} - 2}$

$จาก 1 จะได้ = \lim_{x \to 4} \frac{2^{\sqrt{x}} \sqrt{x} (\sqrt{x} - 2) [{(\sqrt{x})}^{2} + (\sqrt{x}) (2) + 2^{2}]}{\sqrt{x} - 2} = \lim_{x \to 4} 2^{\sqrt{x}} \sqrt{x} (x + 2 \sqrt{x} + 4) - แทน x = 4 ใน limiit จะได้ = 2^{\sqrt{4}} \sqrt{4} (4 + 2 \sqrt{4} + 4) = 2^{2} (2) [4 + 2 (2) + 4] = 96$