ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2561

ข้อ 15

ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันซึ่งมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจำนวนจริง โดยที่ $f' (x) = 2 a x + b \sqrt{x} + 1$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง ถ้า $f (0) = 1$ และ $f' (1) = f' (4) = 0$ แล้ว $(f \circ f) (4)$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$1.25$
2
$1.75$
3
$2.25$
4
$2.75$
5
$3.25$

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ f' (x) = 2 ax + b \sqrt{x} + 1 \to 1 - แทน x = 1 ใน 1 จะได้ f' (1) = 2 a (1) + b \sqrt{1} + 1 f' (1) = 2 a + b + 1 - แทน x = 4 ใน 1 จะได้ f' (4) = 2 a (4) + b \sqrt{4} + 1 f' (4) = 8 a + 2 b + 1$

$จากโจทย์ f' (1) = f' (4) = 0 จะได้ f' (1) = 0 \to 2 a + b + 1 = 0 2 a + b = - 1 \to 2 f' (4) = 0 \to 8 a + 2 b + 1 = 0 8 a + 2 b = - 1 \to 3 - จาก 2, 3 แก้ 2 สมการ 2 ตัวแปร จะได้ a = \frac{1}{4}, b = - \frac{3}{2}; แทนใน 1$

$จาก 1 จะได้ f' (x) = 2 (\frac{1}{4}) x + (- \frac{3}{2}) \sqrt{x} + 1 f' (x) = \frac{1}{2} x - \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + 1 หาค่า f (x) จะได้ f (x) = \int f' (x) dx f (x) = \int (\frac{1}{2} x - \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + 1) dx f (x) = \frac{1}{4} x^{2} - x^{\frac{3}{2}} + x + C \to 4$

$จากโจทย์ f (0) = 1 จะได้ \frac{1}{4} {(0)}^{2} - 0^{\frac{1}{2}} + 0 + C = 1 C = 1; แทนใน 4 จาก 4 จะได้ f (x) = \frac{1}{4} x^{2} - x^{\frac{3}{2}} + x + 1$

$หาค่า (f \circ f) (4) จะได้ (f \circ f) (4) = f (f (4)) = f [\frac{1}{4} {(4)}^{2} - 4^{\frac{3}{2}} + 4 + 1] = f (4 - 8 + 4 + 1) = f (1) = \frac{1}{4} {(1)}^{2} - 1^{\frac{3}{2}} + 1 + 1 = \frac{5}{4} = 1.25$