ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2561

ข้อ 16

กำหนดให้ $A B C$ เป็นรูปสามเหลี่ยม โดยมีความยาวของเส้นรอบรูปสามเหลี่ยมเท่ากับ $60$ หน่วย ถ้าความยาวของด้านตรงข้ามมุม $A$ และมุม $B$ เท่ากับ $a$ หน่วย และ $b$ หน่วย ตามลำดับ แล้วค่าของ $a \sin^{2} (\frac{A + C}{2}) + b \sin^{2} (\frac{B + C}{2})$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$30$
2
$30 + a$
3
$60$
4
$60 + a + b$
5
$150$

เฉลยข้อสอบ

$จากสูตร \cos 2 θ = 1 - 2 \sin^{2} θ จะได้ \sin^{2} θ = \frac{1 - \cos 2 θ}{2} หรือ \sin^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{1 - cosθ}{2} จากโจทย์ {asin}^{2} (\frac{A + C}{2}) + {bsin}^{2} (\frac{B + C}{2}) จะได้ = a (\frac{1 - \cos (A + C)}{2}) + b (\frac{1 - \cos (B + C)}{2}) \to 1 จากโจทย์ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม$
$แสดงว่า A + B + C = 180 ° \to A + C = 180 - B; แทนใน 1 \to B + C = 180 - A; แทนใน 1 จาก 1 จะได้ = a (\frac{1 - \cos (180 - B)}{2}) + b (\frac{1 - \cos (180 - A)}{2}) = a (\frac{1 - (- cosB)}{2}) + b (\frac{1 - (- cosA)}{2})$

$= a (\frac{1 + cosB}{2}) + b (\frac{1 + cosA}{2}) = \frac{a + acosB + b + bcosA}{2} = \frac{a + b + acosB + bcosA}{2} \to 2 จากโจทย์ ความยาวของด้านตรงข้ามมุม A และมุม B เท่ากับ a หน่วย และ b หน่วย ตามลำดับ วาดรูปสามเหลี่ยม ABC (กำหนดให้ CD ตั้งฉากกับ AB)$

$แสดงว่า bcosA + acosB = AD + DB bcosA + acosB = c; แทนใน 2 จาก 2 จะได้ {asin}^{2} (\frac{A + C}{2}) + {bsin}^{2} (\frac{B + C}{2}) = \frac{a + b + c}{2} \to 3$

$จากโจทย์ ความยาวของเส้นรอบรูปสามเหลี่ยมเท่ากับ 60 หน่วย แสดงว่า a + b + c = 60; แทนใน 3 จาก 3 จะได้ {asin}^{2} (\frac{A + C}{2}) + {bsin}^{2} (\frac{B + C}{2}) = \frac{60}{2} {asin}^{2} (\frac{A + C}{2}) + {bsin}^{2} (\frac{B + C}{2}) = 30$