ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2561

ข้อ 24

ให้ $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}, \dots$ เป็นลำดับเรขาคณิตของจำนวนเต็มบวก โดยที่มีผลบวกของพจน์ที่สองและพจน์ที่สี่เท่ากับ $60$ และพจน์ที่สามเท่ากับ $18$ และให้ $S_{n}$ เป็นผลบวก $n$ พจน์แรกของลำดับ $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}, \dots$ แล้วค่าของ $\frac{S_{8}}{S_{4}} + \frac{S_{4}}{S_{2}}$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{172}{81}$
2
$\frac{37}{16}$
3
$22$
4
$88$
5
$92$

เฉลยข้อสอบ

$จากสูตร ลำดับเรขาคณิต a_{n} = a_{1} r^{n - 1} a_{n} = a_{x} r^{n - x} จากโจทย์ ผลบวกของพจน์ที่สองและพจน์ที่สี่เท่ากับ 60 จะได้ a_{2} + a_{4} = 60 a_{3} r^{- 1} + a_{3} r = 60; โดย a_{3} = 18 18 r^{- 1} + 18 r = 60$
$\frac{18}{r} + 18 r - 60 = 0 \frac{3}{r} + 3 r - 10 = 0 3 r^{2} - 10 r + 3 = 0 (3 r - 1) (r - 3) = 0 r = \frac{1}{3}, 3 แต่ a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}, \dots เป็นจำนวนเต็มบวก แสดงว่า r = 3$

$จากสูตร ผลรวมของลำดับเรขาคณิต S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1} เมื่อ |r| < 1 ดังนั้น \frac{S_{8}}{S_{4}} + \frac{S_{4}}{S_{2}} = \frac{\frac{a_{1} (r^{8} - 1)}{r - 1}}{\frac{a_{1} (r^{4} - 1)}{r - 1}} + \frac{\frac{a_{1} (r^{4} - 1)}{r - 1}}{\frac{a_{1} (r^{2} - 1)}{r - 1}} = \frac{r^{8} - 1}{r^{4} - 1} + \frac{r^{4} - 1}{r^{2} - 1}$

$= \frac{(r^{4} - 1) (r^{4} + 1)}{r^{4} - 1} + \frac{(r^{2} - 1) (r^{2} + 1)}{r^{2} - 1} = (r^{4} + 1) + (r^{2} + 1) = (3^{4} + 1) + (3^{2} + 1) = 92$