ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2561

ข้อ 27

ให้ $f$ และ $g$ เป็นฟังก์ชัน ซึ่งมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจำนวนจริงโดยที่ $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x \neq 1$ และ $g (x) = 6 x + 5$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x$ ถ้า $a$ เป็นจำนวนจริงที่ $a \neq 1$ และ $g (f (a)) = g^{- 1} (f (a))$ แล้ว $f (g^{- 1} (a)) + f (g (a))$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{31}{22}$
2
$\frac{16}{11}$
3
$\frac{37}{22}$
4
$\frac{20}{11}$
5
$\frac{41}{22}$

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ g (x) = 6 x + 5 y = 6 x + 5 หา g^{- 1} (x) \to เปลี่ยน x เป็น y, y เป็น x จะได้ x = 6 y + 5 y = \frac{x - 5}{6} g^{- 1} (x) = \frac{x - 5}{6}$

$จากโจทย์ g (f (a)) = g^{- 1} (f (a)) จะได้ 6 f (a) + 5 = \frac{f (a) - 5}{6} 36 f (a) + 30 = f (a) - 5 f (a) = - 1 จากโจทย์ f (x) = \frac{x + 1}{x - 1} - แทน x = a จะได้ f (a) = \frac{a + 1}{a - 1}; โดย f (a) = - 1$
$- 1 = \frac{a + 1}{a - 1} - a + 1 = a + 1 0 = 2 a a = 0 ดังนั้น f (g^{- 1} (a)) + f (g (a)) = f (g^{- 1} (0)) + f (g (0)) = f (\frac{0 - 5}{6}) + f [6 (0) + 5] = f (- \frac{5}{6}) + f (5)$

$= \frac{- \frac{5}{6} + 1}{- \frac{5}{6} - 1} + \frac{5 + 1}{5 - 1} = \frac{\frac{1}{6}}{- \frac{11}{6}} + \frac{6}{4} = - \frac{1}{11} + \frac{3}{2} = \frac{31}{22}$