ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2561

ข้อ 28

กำหนดให้ $a (0) = 1$ และสำหรับ $n = 0, 1, 2, 3, \dots$ ให้ $a (n + 1) = \{\begin{cases} 3 + 5 a (n) เมื่อ a (n) \leq 5 \\ 2 + \frac{1}{5} a (n) เมื่อ a (n) > 5 \end{cases}$

พิจารณาข้อความต่อไปนี้

ก. $a (3) - a (1)$ เป็นจำนวนเฉพาะ

ข. $a (4) > a (5)$

ค. $a (7) = \frac{146}{25}$

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1
ข้อ (ก) และ ข้อ (ข) ถูก แต่ ข้อ (ค) ผิด
2
ข้อ (ก) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ข) ผิด
3
ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ก) ผิด
4
ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูกทั้งสามข้อ
5
ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ผิดทั้งสามข้อ

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ a (n + 1) = \{\begin{cases} 3 + 5 a (n) เมื่อ a (n) \leq 5 \to 1 \\ 2 + \frac{1}{5} a (n) เมื่อ a (n) > 5 \to 2 \end{cases} หา a (0), a (2), a (3), . . ., a (7) จากโจทย์ a (0) = 1 n = 0 \to เงื่อนไข 1 a (n) \leq 5 จะได้ a (n + 1) = 3 + 5 a (n); แทน n = 0$
$a (0 + 1) = 3 + 5 a (0) a (1) = 3 + 5 (1) = 8 จาก a (1) = 8 n = 1 \to เงื่อนไข 2 a (n) > 5 จะได้ a (n + 1) = 2 + \frac{1}{5} a (n); แทน n = 1 a (1 + 1) = 2 + \frac{1}{5} a (1) a (2) = 2 + \frac{1}{5} (8) = 3.6$

$จาก a (2) = 3.6 n = 2 \to เงื่อนไข 1 a (n) \leq 5 จะได้ a (2 + 1) = 3 + 5 a (2) a (3) = 3 + 5 (3.6) = 21 จาก a (3) = 21 n = 3 \to เงื่อนไข 2 a (n) > 5 จะได้ a (3 + 1) = 2 + \frac{1}{5} a (3) a (4) = 2 + \frac{1}{5} (21) = 6.2$

$จาก a (4) = 6.2 n = 4 \to เงื่อนไข 2 a (n) > 5 จะได้ a (4 + 1) = 2 + \frac{1}{5} a (4) a (5) = 2 + \frac{1}{5} (6.2) = 3.24 จาก a (5) = 3.24 n = 5 \to เงื่อนไข 1 a (n) \leq 5 จะได้ a (5 + 1) = 3 + 5 a (5) a (6) = 3 + 5 (3.24) = 19.2$

$จาก a (6) = 19.2 n = 6 \to เงื่อนไข 2 a (n) > 5 จะได้ a (6 + 1) = 2 + \frac{1}{5} a (6) a (7) = 2 + \frac{1}{5} (19.2) = 5.84 พิจารณาข้อความ ก) จากโจทย์ a (3) - a (1) เป็นจำนวนเฉพาะ จะได้ a (3) - a (1) = 21 - 8 = 13 เป็นจำนวนเฉพาะ$
$ดังนั้น ข้อ (ก) ถูก ข) จากโจทย์ a (4) > a (5) จะได้ 6.2 > 3.24 ดังนั้น ข้อ (ข) ถูก ค) จากโจทย์ a (7) = \frac{146}{25} จะได้ a (7) = 5.84 = \frac{584}{100} a (7) = \frac{146}{25} ดังนั้น ข้อ (ค) ถูก$