ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2561

ข้อ 4

ค่าของ $\sin (4 a r c \tan \frac{1}{3}) \tan (2 a r c \tan \frac{1}{7})$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{5}{24}$
2
$\frac{7}{25}$
3
$\frac{7}{24}$
4
$\frac{12}{25}$
5
$\frac{13}{25}$

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ \sin (4 \arctan \frac{1}{3}) \tan (2 \arctan \frac{1}{7}) \to 1 กำหนดให้ A = \arctan \frac{1}{3} และ B = \arctan \frac{1}{7} tanA = \frac{1}{3} tanB = \frac{1}{7} - วาดรูปสามเหลี่ยม$

$จาก 1 จะได้ \sin (4 \arctan \frac{1}{3}) \tan (2 \arctan \frac{1}{7}) = \sin (4 A) \tan (2 B) \to 2 จากสูตร \tan 2 θ = \frac{2 tanθ}{1 - \tan^{2} θ} \tan 2 B = \frac{2 tanB}{1 - \tan^{2} B} = \frac{2 (\frac{1}{7})}{1 - {(\frac{1}{7})}^{2}} = \frac{\frac{2}{7}}{\frac{48}{49}} = \frac{7}{24}; แทนใน 2$

$จากสูตร \tan 2 A = \frac{2 tanA}{1 - \tan^{2} A} = \frac{2 (\frac{1}{3})}{1 - {(\frac{1}{3})}^{2}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}} = \frac{3}{4} จากสูตร \sin 2 A = \frac{2 \tan A}{1 + \tan^{2} A} \sin 4 A = \frac{2 \tan 2 A}{1 + \tan^{2} 2 A}$

$= \frac{2 (\frac{3}{4})}{1 + {(\frac{3}{4})}^{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{25}{16}} = \frac{24}{25} จาก 2 จะได้ \sin (4 \arctan \frac{1}{3}) \tan (2 \arctan \frac{1}{7}) = \sin (4 A) \tan (2 B) = (\frac{24}{25}) (\frac{7}{24}) = (\frac{7}{25})$