ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2561

ข้อ 43

ให้ $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}, \dots$ เป็นลำดับเลขคณิตของจำนวนจริง โดยที่มีผลบวกสี่พจน์แรกของลำดับเท่ากับ $14$ และ $a_{20} = a_{10} + 30$ และให้ $b_{1}, b_{2}, b_{3}, \dots, b_{n}, \dots$ เป็นลำดับของจำนวนจริง โดยที่ $b_{1} = a_{3}$ และ $b_{n + 1} = b_{n} + 1$ สำหรับ $n = 1, 2, 3, \dots$ ค่าของ $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยข้อสอบ

$จากสูตร ลำดับเลขคณิต a_{n} = a_{1} + (n - 1) d จากโจทย์ a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}, \dots เป็นลำดับเลขคณิต a_{20} = a_{10} + 30 จะได้ a_{1} + (20 - 1) d = a_{1} + (10 - 1) d + 30 19 d = 9 d + 30 d_{a} = 3$

$จากโจทย์ b_{n + 1} = b_{n} + 1 จะได้ b_{n + 1} - b_{n} = 1 แสดงว่า b_{1}, b_{2}, b_{3}, \dots, b_{n}, \dots เป็นลำดับเลขคณิต มีผลต่างร่วม (d_{b}) = 1$

$ดังนั้น \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{1} + (n - 1) d_{a}}{b_{1} + (n - 1) d_{b}} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{1} + {nd}_{a} - d_{a}}{b_{1} + {nd}_{b} - d_{b}} = \lim_{n \to \infty} [\frac{\frac{1}{n} (a_{1} + {nd}_{a} - d_{a})}{\frac{1}{n} (b_{1} + {nd}_{b} - d_{b})}]$

$= \lim_{n \to \infty} (\frac{\frac{a_{1}}{n} + d_{a} - \frac{d_{a}}{n}}{\frac{b_{1}}{n} + d_{b} - \frac{d_{b}}{n}}) = \frac{\frac{a_{1}}{\infty} + d_{a} - \frac{d_{a}}{\infty}}{\frac{b_{1}}{\infty} + d_{b} - \frac{d_{b}}{\infty}} = \frac{0 + d_{a} - 0}{0 + d_{b} - 0} = \frac{d_{a}}{d_{b}} = \frac{3}{1} = 3$